Resolva a equação diferencial dada, verificando que a função mu(x, y)=x y seja um fator de integração
(-x y sen x+2 y cos x) d x+2 x cos x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(-x ysen x + 2ycos x),dx + 2xcos x,dy = 0
e sugere usar o fator de integração mu(x,y)=xy. Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas de primeira ordem e fator de integração que torna a equação exata.

Passo 2

Multiplicamos toda a equação por mu(x,y)=xy. Isso gera
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = (-x ysen x + 2ycos x)cdot(xy) = -x^2y^2sen x + 2xy^2cos x,
N(x,y) = 2xcos xcdot(xy) = 2x^2ycos x

Passo 3

Verificamos exatidão comparando partial M/partial y e partial N/partial x:
partial Mpartial y = partialpartial yl(-x^2y^2sen x + 2xy^2cos xr) = -2x^2ysen x + 4xycos x,
partial Npartial x = partialpartial xl(2x^2ycos xr) = 4xycos x -2x^2ysen x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata após multiplicar por xy.

Passo 4

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y), partial psipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x (tratando y como constante):
psi(x,y) = integrall(-x^2y^2sen x + 2xy^2cos xr),dx = x^2y^2cos x + h(y),
pois, por partes, o termo misto se simplifica a x^2y^2cos x.
Para ajustar h(y), igualamos
partial psipartial y = 2x^2ycos x + h'(y) stackrel!= N(x,y)=2x^2ycos x,
logo h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
x^2y^2cos x = C,
com C constante de integração.

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