Determine o comprimento da curva dada.
alpha(t)=(cos t, sen t, ln cos t), 0 <= t <= pi / 4.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e os conceitos que vamos usar: temos a curva paramétrica alpha(t)=(cos t,,sin t,,lncos t) no intervalo [0,,pi/4]. O conteúdo aqui é comprimento de curva em parametrização regular, e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^bl|alpha'(t)r|,dt
além de calcular a derivada e a norma do vetor derivada.

Passo 2

Precisamos obter alpha'(t). Derivando componente a componente: a derivada de cos t é -sin t, de sin t é cos t e de lncos t é, pela regra da cadeia, -tan t. Logo,
alpha'(t)=(-sin t,,cos t,,-tan t)

Passo 3

Agora vamos calcular a norma de alpha'(t):
|alpha'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+(-tan t)^2=raizsin^2t+cos^2t+tan^2t
Como sin^2t+cos^2t=1 e tan^2t=sec^2t-1, temos
|alpha'(t)|=raiz1+(sec^2t-1)=raizsec^2t=sec t
(no nosso intervalo [0,pi/4], sec t é positivo).

Passo 4

Aplicamos a fórmula do comprimento:
L=integral0^pi/4|alpha'(t)|,dt=integral0^pi/4sec t,dt
A integral de sec t é
integralsec t,dt=lnl|sec t+tan tr|+C

Passo 5

Agora é só avaliar o limite de 0 a pi/4:
L=l[lnl(sec t+tan tr)r]0^pi/4 =lnl(sec(pi/4)+tan(pi/4)r)-lnl(sec0+tan0r)
Como sec(pi/4)=raiz2, tan(pi/4)=1, sec0=1, tan0=0, obtemos
L=ln(raiz2+1)-ln(1)=ln(raiz2+1)

Resposta

ln(1+raiz2)

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