Determine o comprimento da curva dada.
f(t)=\left\langle 2 t, t^{2}, t^{1 / 3}\right\rangle, \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva dada por
f(t)=\left\langle 2t,\; t^{2},\; t^{1/3}\right\rangle,\qquad 0\le t\le 1.
O que preciso retornar é o comprimento da curva (ou seja, o comprimento do arco) entre os pontos correspondentes a t=0 e t=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetor paramétrica é f(t)=\big(2t,\;t^{2},\;t^{1/3}\big).
  • O parâmetro varia em [0,1].
  • Note que a terceira componente tem potência fracionária t^{1/3}, o que pode causar singularidade na derivada em t=0; isso é relevante para verificar se a integral do comprimento é convergente.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada didaticamente):
O comprimento de arco de uma curva paramétrica f(t) no intervalo [a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\big\|f'(t)\big\|\,dt.
Aqui \big\|f'(t)\big\| é a norma euclidiana do vetor derivada f'(t). Em palavras: para cada t calculamos a velocidade \big\|f'(t)\big\| e somamos (integrando) essas velocidades ao longo do intervalo — isso dá o comprimento total.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • f'(t) é o vetor velocidade, formado pelas derivadas das componentes.
  • \big\|f'(t)\big\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
  • Integrar essa norma de a até b soma as contribuições infinitesimais de comprimento ds=\big\|f'(t)\big\|\,dt.

Passo 3

Calcular f'(t) componente a componente (aqui mostro cada derivada e por quê):
  • Para x(t)=2t a derivada é x'(t)=2 porque a derivada de 2t em relação a t é 2.
  • Para y(t)=t^{2} a derivada é y'(t)=2t pela regra do poder.
  • Para z(t)=t^{1/3} a derivada é z'(t)=\dfrac{1}{3}t^{-2/3} (usamos a regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{\alpha}=\alpha t^{\alpha-1}).
Portanto
f'(t)=\left\langle 2,\;2t,\;\dfrac{1}{3}t^{-2/3}\right\rangle.

Passo 4

Montar a norma da derivada e analisar comportamento em t=0.
A norma é
\big\|f'(t)\big\| =\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+\left(\dfrac{1}{3}t^{-2/3}\right)^{2}} =\sqrt{4+4t^{2}+\dfrac{1}{9}t^{-4/3}}.
Observação sobre t=0: a componente \dfrac{1}{9}t^{-4/3} diverge quando t\to 0^{+}. Isso não implica automaticamente que a integral seja infinita: é preciso verificar se a singularidade é integrável. Para analisar, olhamos o comportamento dominante quando t é pequeno. Para t pequeno, o termo \dfrac{1}{9}t^{-4/3} domina, então
\big\|f'(t)\big\|\sim \sqrt{\dfrac{1}{9}t^{-4/3}}=\dfrac{1}{3}t^{-2/3}.
Uma vez que \int_{0}^{\varepsilon} t^{-2/3}\,dt é finita (pois \int t^{-2/3}\,dt=\tfrac{t^{1/3}}{1/3}=3t^{1/3}), concluímos que a singularidade em t=0 é integrável e o comprimento é finito.

Passo 5

Para facilitar a integral, fazemos uma substituição natural ligada à potência t^{1/3}. Defina s=t^{1/3}. Então:
t=s^{3},\qquad dt=3s^{2}\,ds.
Quando t varia de 0 a 1, s também varia de 0 a 1.
Reescrevendo a curva em função de s:
f(s)=\langle 2s^{3},\; s^{6},\; s\rangle.
Derivando em relação a s (agora a variável é s):
\frac{df}{ds}=\left\langle 6s^{2},\;6s^{5},\;1\right\rangle.
A norma em termos de s é então
\Big\|\frac{df}{ds}\Big\| =\sqrt{(6s^{2})^{2}+(6s^{5})^{2}+1} =\sqrt{36s^{4}+36s^{10}+1}.
Como dt=3s^{2}ds, a integral do comprimento pode ser escrita (mas note: aqui usamos o parâmetro s e a expressão direta da norma em s obedece a ds; na prática, ao trocar de parâmetro, a fórmula do comprimento é simplesmente \int \|df/ds\|\,ds entre os limites de s. Com isso o comprimento é)
L=\int_{0}^{1}\sqrt{36s^{4}+36s^{10}+1}\,ds.

Passo 6

Análise da integral e estratégia de cálculo:
A integral
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+36s^{4}+36s^{10}}\,ds
não tem uma primitiva elementar óbvia (ou seja, não se resolve em funções elementares padrão). Como o objetivo é obter o comprimento numérico da curva, vamos calcular a integral numericamente. Já verificamos que a integranda é contínua em [0,1] (no novo parâmetro s não há singularidade), logo é seguro aplicar métodos numéricos.
Vou estimar a integral com a Regra de Simpson (método simples e preciso para funções suaves). Usei n=8 subintervalos (passo h=0,125) e calculei os valores da função
g(s)=\sqrt{1+36s^{4}+36s^{10}}
em s=0,\,0{,}125,\,0{,}25,\,\dots,\,1. Os valores aproximados são:
\begin{aligned} g(0)&=1{,}0000000,\\\ g(0{,}125)&\approx 1{,}0043817,\\\ g(0{,}25)&\approx 1{,}0680165,\\\ g(0{,}375)&\approx 1{,}3091800,\\\ g(0{,}5)&=1{,}8125000,\\\ g(0{,}625)&\approx 2{,}6139500,\\\ g(0{,}75)&\approx 3{,}7970960,\\\ g(0{,}875)&\approx 5{,}6210000,\\\ g(1)&\approx 8{,}5440037. \end{aligned}
Aplicando Simpson com h=0{,}125:
L\approx \frac{h}{3}\Big[g(0)+4\sum_{\text{ímpar}}g(s_i)+2\sum_{\text{par}}g(s_i)+g(1)\Big].í
Substituindo os valores obtive numericamente
L\approx 2{,}7122\\ (\text{aproximado}).
Fiz uma verificação rápida com menos subintervalos e o resultado convergente fica em torno de 2{,}71, então a estimativa acima é confiável com precisão de cerca de 10^{-3}.

Passo 7

Interpretação final e dicas para prova:
  • Para resolver problemas semelhantes na prova: primeiro calcule f'(t), forme \|f'(t)\| e verifique se existe alguma singularidade. Se houver uma potência fracionária, tente uma substituição que remova a potência (aqui s=t^{1/3} funcionou bem).
  • Se a integral não for elementar, explique que a integral é bem definida (mostre que a singularidade é integrável) e então use aproximação numérica (Simpson, por exemplo) para obter um valor numérico.
  • Sempre justifique a convergência da integral quando houver termos como t^{\alpha} com \alpha<0.

Resposta

L\approx 2{,}7122

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