O que preciso retornar é o comprimento da curva (ou seja, o comprimento do arco) entre os pontos correspondentes a t=0 e t=1.
Informações relevantes fornecidas:
A função vetor paramétrica é f(t)=\big(2t,\;t^{2},\;t^{1/3}\big).
O parâmetro varia em [0,1].
Note que a terceira componente tem potência fracionária t^{1/3}, o que pode causar singularidade na derivada em t=0; isso é relevante para verificar se a integral do comprimento é convergente.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada didaticamente):
O comprimento de arco de uma curva paramétrica f(t) no intervalo [a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\big\|f'(t)\big\|\,dt.
Aqui \big\|f'(t)\big\| é a norma euclidiana do vetor derivada f'(t). Em palavras: para cada t calculamos a velocidade \big\|f'(t)\big\| e somamos (integrando) essas velocidades ao longo do intervalo — isso dá o comprimento total.
Explicando a fórmula de forma simples:
f'(t) é o vetor velocidade, formado pelas derivadas das componentes.
Observação sobre t=0: a componente \dfrac{1}{9}t^{-4/3} diverge quando t\to 0^{+}. Isso não implica automaticamente que a integral seja infinita: é preciso verificar se a singularidade é integrável. Para analisar, olhamos o comportamento dominante quando t é pequeno. Para t pequeno, o termo \dfrac{1}{9}t^{-4/3} domina, então
Uma vez que \int_{0}^{\varepsilon} t^{-2/3}\,dt é finita (pois \int t^{-2/3}\,dt=\tfrac{t^{1/3}}{1/3}=3t^{1/3}), concluímos que a singularidade em t=0 é integrável e o comprimento é finito.
Passo 5
Para facilitar a integral, fazemos uma substituição natural ligada à potência t^{1/3}. Defina s=t^{1/3}. Então:
Como dt=3s^{2}ds, a integral do comprimento pode ser escrita (mas note: aqui usamos o parâmetro s e a expressão direta da norma em s obedece a ds; na prática, ao trocar de parâmetro, a fórmula do comprimento é simplesmente \int \|df/ds\|\,ds entre os limites de s. Com isso o comprimento é)
L=\int_{0}^{1}\sqrt{36s^{4}+36s^{10}+1}\,ds.
Passo 6
Análise da integral e estratégia de cálculo:
A integral
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+36s^{4}+36s^{10}}\,ds
não tem uma primitiva elementar óbvia (ou seja, não se resolve em funções elementares padrão). Como o objetivo é obter o comprimento numérico da curva, vamos calcular a integral numericamente. Já verificamos que a integranda é contínua em [0,1] (no novo parâmetro s não há singularidade), logo é seguro aplicar métodos numéricos.
Vou estimar a integral com a Regra de Simpson (método simples e preciso para funções suaves). Usei n=8 subintervalos (passo h=0,125) e calculei os valores da função
g(s)=\sqrt{1+36s^{4}+36s^{10}}
em s=0,\,0{,}125,\,0{,}25,\,\dots,\,1. Os valores aproximados são:
Fiz uma verificação rápida com menos subintervalos e o resultado convergente fica em torno de 2{,}71, então a estimativa acima é confiável com precisão de cerca de 10^{-3}.
Passo 7
Interpretação final e dicas para prova:
Para resolver problemas semelhantes na prova: primeiro calcule f'(t), forme \|f'(t)\| e verifique se existe alguma singularidade. Se houver uma potência fracionária, tente uma substituição que remova a potência (aqui s=t^{1/3} funcionou bem).
Se a integral não for elementar, explique que a integral é bem definida (mostre que a singularidade é integrável) e então use aproximação numérica (Simpson, por exemplo) para obter um valor numérico.
Sempre justifique a convergência da integral quando houver termos como t^{\alpha} com \alpha<0.