Determine a derivada das funçôes vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função vetorial
Informações dadas:
- A função vetorial tem três componentes: primeira componente
, segunda componente e terceira componente . - A pergunta é única: encontrar
, a derivada da função vetorial (para os valores de em que tudo está definido).
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas e práticas):
- A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Aqui
denotam as componentes escalares da função vetorial. Isso vem diretamente da definição limite aplicada a cada componente — não precisa decorar, só lembrar que cada coordenada varia com
e derivamos cada uma.
Passo 3
Derivada da primeira componente
:
- Regra usada: derivada de
em relação a é . - Explicação curta:
porque a taxa de variação de em relação a si mesmo é constante igual a .
Logo a primeira componente derivada é.
Passo 4
Derivada da segunda componente
:
- Lembrete:
. - Usaremos a regra da cadeia e a derivada de uma função potência: se
, então
- Como
, substituindo:
- Simplificando usando
. - Portanto a derivada é
.
Passo 5
Derivada da terceira componente
:
- Reescreve como potência:
. - Regra usada: regra da potência — se
então . - Aplicando para
:
- Nota: isso só faz sentido para
(pois a função original não está definida em ).
Passo 6
Observações sobre domínio da derivada:
- A derivada que obtivemos faz sentido somente onde as componentes originais são definidas e diferenciáveis.
- A componente
exige (ou seja, , ). - A componente
exige . - Assim,
está definida para todos os tais que e .