Determine a derivada das funçôes vetoriais.
f(t)=\left\langle t, \operatorname{sec} t, 1 / t^{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função vetorial
f(t)=\left\langle t,\\ \operatorname{sec} t,\\ \dfrac{1}{t^{2}}\right\rangle.
Informações dadas:
  • A função vetorial tem três componentes: primeira componente t, segunda componente \operatorname{sec} t e terceira componente 1/t^{2}.
  • A pergunta é única: encontrar f'(t), a derivada da função vetorial (para os valores de t em que tudo está definido).

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas e práticas):
  • A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
f(t)=\left\langle f_1(t),\,f_2(t),\,f_3(t)\right\rangle,
então
f'(t)=\left\langle f_1'(t),\,f_2'(t),\,f_3'(t)\right\rangle.
Aqui f_1, f_2, f_3 denotam as componentes escalares da função vetorial. Isso vem diretamente da definição limite aplicada a cada componente — não precisa decorar, só lembrar que cada coordenada varia com t e derivamos cada uma.

Passo 3

Derivada da primeira componente \,t:
  • Regra usada: derivada de t em relação a t é 1.
  • Explicação curta: (t)' = 1 porque a taxa de variação de t em relação a si mesmo é constante igual a 1.
    Logo a primeira componente derivada é 1.

Passo 4

Derivada da segunda componente \,\operatorname{sec} t:
  • Lembrete: \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}.
  • Usaremos a regra da cadeia e a derivada de uma função potência: se g(x)=(\cos x)^{-1}, então
g'(x) = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(\cos x)'.
  • Como (\cos x)' = -\sin x, substituindo:
g'(x) = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}.
  • Simplificando usando \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x} = \dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{sec} x \tan x.
  • Portanto a derivada é (\operatorname{sec} t)' = \operatorname{sec} t\,\tan t.

Passo 5

Derivada da terceira componente \,\dfrac{1}{t^{2}}:
  • Reescreve como potência: \dfrac{1}{t^{2}} = t^{-2}.
  • Regra usada: regra da potência — se h(t)=t^{n} então h'(t)=n t^{n-1}.
  • Aplicando para n=-2:
(t^{-2})' = -2\,t^{-3} = -\dfrac{2}{t^{3}}.
  • Nota: isso só faz sentido para t\neq 0 (pois a função original não está definida em t=0).

Passo 6

Observações sobre domínio da derivada:
  • A derivada que obtivemos faz sentido somente onde as componentes originais são definidas e diferenciáveis.
  • A componente \operatorname{sec} t exige \cos t \neq 0 (ou seja, t \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • A componente 1/t^{2} exige t\neq 0.
  • Assim, f'(t) está definida para todos os t tais que t\neq 0 e \cos t\neq 0.

Resposta

f'(t)=\left\langle 1,\\ \operatorname{sec} t\,\tan t,\\\ -\dfrac{2}{t^{3}}\right\rangle

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