Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá três problemas de valor inicial (PVI) e pede a solução de cada um usando transformada de Laplace. Vou listar claramente cada PVI e suas condições iniciais:
- PVI (1):
, com e . - PVI (2):
, com e . - PVI (3):
, com e .
Informações dadas que usarei diretamente:
- As equações diferenciais e os valores iniciais listados acima.
- A instrução explícita de usar a transformada de Laplace para resolver cada PVI.
Passo 2
Relembrando as regras básicas da transformada de Laplace que vou usar (aqui explico tudo devagarinho):
- Definição/nota: se
é a função do tempo então a transformada de Laplace é , onde é a variável complexa da transformada. Na prática, é uma função algébrica de . - Linearidade:
. - Derivadas: para
com transformada ,
Aqui
e
são os valores iniciais dados.
- Transformadas inversas úteis (tabelinha que já salva horas):
Vou aplicar essas regras a cada equação: transformar, resolver algebricamente para
ou
, decompor em frações simples quando necessário e inverter.
Passo 3
Resolução do PVI (1):
,
,
.
- Aplicar
. Chamando , pelas fórmulas de derivada:
- Substituir na equação transformada:
- Agrupar termos em
e termos conhecidos:
Logo
- Fatorar o denominador:
. Fazer frações parciais:
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes ou usando valores fáceis:
- Colocando
: . - Colocando
: .
- Então
Inverto cada termo usando
:
Passo 4
Resolução do PVI (2):
,
,
.
- Denotar
. Aplicar a transformada:
- Substituir em
:
- Agrupar:
portanto
- Fatorar o denominador:
. Fazer frações parciais:
Multiplicando:
Determinar
:
- Colocando
: . - Colocando
: .
- Assim
Invertendo:
Passo 5
Resolução do PVI (3):
,
,
.
- Denotar
. Usar as fórmulas:
- Substituir na equação:
- Agrupar termos:
portanto
- Completar o quadrado no denominador para identificar a forma padrão:
Logo
- Reconhecer a transformada conhecida:
. Aqui e , e o numerador é . Então
Passo 6
Resumo rápido de por que cada passo funciona (um empurrãozinho final para fixar):
- Em cada PVI transformei a equação diferencial em uma equação algébrica em
usando . Isso é útil porque as derivadas viram polinômios multiplicando mais termos com as condições iniciais. - Depois isolei
(ou ), decompus em frações simples quando o denominador se fatorou em termos lineares, ou completei o quadrado quando o denominador tinha forma . - Por fim usei as transformadas inversas padrão (exponenciais e seno/cosseno multiplicados por um decaimento/exponencial) para voltar ao domínio do tempo
.