Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
\begin{array}{ccc} y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0 ; & y(0)=1, & y^{\prime}(0)=-1 \\\ y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 ; & y(0)=1, & y^{\prime}(0)=0 \\\ u^{\prime \prime}-2 u^{\prime}+2 u=0 ; & u(0)=0, & u^{\prime}(0)=1 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá três problemas de valor inicial (PVI) e pede a solução de cada um usando transformada de Laplace. Vou listar claramente cada PVI e suas condições iniciais:
  • PVI (1): \;y''-y'-6y=0, com \;y(0)=1 e \;y'(0)=-1.
  • PVI (2): \;y''+3y'+2y=0, com \;y(0)=1 e \;y'(0)=0.
  • PVI (3): \;u''-2u'+2u=0, com \;u(0)=0 e \;u'(0)=1.
Informações dadas que usarei diretamente:
  • As equações diferenciais e os valores iniciais listados acima.
  • A instrução explícita de usar a transformada de Laplace para resolver cada PVI.

Passo 2

Relembrando as regras básicas da transformada de Laplace que vou usar (aqui explico tudo devagarinho):
  • Definição/nota: se f(t) é a função do tempo então a transformada de Laplace é \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), onde s é a variável complexa da transformada. Na prática, F(s) é uma função algébrica de s.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Derivadas: para y(t) com transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui y(0) e y'(0) são os valores iniciais dados.
  • Transformadas inversas úteis (tabelinha que já salva horas): \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{at}\cos(bt),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{at}\sin(bt).
Vou aplicar essas regras a cada equação: transformar, resolver algebricamente para Y(s) ou U(s), decompor em frações simples quando necessário e inverter.

Passo 3

Resolução do PVI (1): \;y''-y'-6y=0, \;y(0)=1, \;y'(0)=-1.
  1. Aplicar \mathcal{L}\{\cdot\}. Chamando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, pelas fórmulas de derivada:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 1-(-1)=s^{2}Y(s)-s+1,
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
\mathcal{L}\{y\}=Y(s).
  1. Substituir na equação transformada:
\bigl(s^{2}Y(s)-s+1\bigr)-\bigl(sY(s)-1\bigr)-6Y(s)=0.
  1. Agrupar termos em Y(s) e termos conhecidos:
(s^{2}-s-6)Y(s)+(-s+2)=0.
Logo
(s^{2}-s-6)Y(s)=s-2,
Y(s)=\frac{s-2}{s^{2}-s-6}.
  1. Fatorar o denominador: \;s^{2}-s-6=(s-3)(s+2). Fazer frações parciais:
\frac{s-2}{(s-3)(s+2)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s-3)(s+2):
s-2=A(s+2)+B(s-3).
Comparando coeficientes ou usando valores fáceis:
  • Colocando s=3: 3-2= A(5)+B(0)\Rightarrow 1=5A\Rightarrow A=\tfrac{1}{5}.
  • Colocando s=-2: -2-2= A(0)+B(-5)\Rightarrow -4=-5B\Rightarrow B=\tfrac{4}{5}.
  1. Então
Y(s)=\frac{1/5}{s-3}+\frac{4/5}{s+2}.
Inverto cada termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}:
y(t)=\frac{1}{5}e^{3t}+\frac{4}{5}e^{-2t}.

Passo 4

Resolução do PVI (2): \;y''+3y'+2y=0, \;y(0)=1, \;y'(0)=0.
  1. Denotar Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplicar a transformada:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 1-0=s^{2}Y(s)-s,
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
\mathcal{L}\{y\}=Y(s).
  1. Substituir em \;y''+3y'+2y=0:
(s^{2}Y(s)-s)+3(sY(s)-1)+2Y(s)=0.
  1. Agrupar:
(s^{2}+3s+2)Y(s)+(-s-3)=0,
portanto
(s^{2}+3s+2)Y(s)=s+3,
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}.
  1. Fatorar o denominador: \;s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2). Fazer frações parciais:
\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando:
s+3=A(s+2)+B(s+1).
Determinar A,B:
  • Colocando s=-1: -1+3 = A(1) \Rightarrow 2=A.
  • Colocando s=-2: -2+3 = B(-1) \Rightarrow 1=-B \Rightarrow B=-1.
  1. Assim
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
Invertendo:
y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}.

Passo 5

Resolução do PVI (3): \;u''-2u'+2u=0, \;u(0)=0, \;u'(0)=1.
  1. Denotar U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}. Usar as fórmulas:
\mathcal{L}\{u''\}=s^{2}U(s)-s\,u(0)-u'(0)=s^{2}U(s)-0-1=s^{2}U(s)-1,
\mathcal{L}\{u'\}=sU(s)-u(0)=sU(s)-0=sU(s),
\mathcal{L}\{u\}=U(s).
  1. Substituir na equação:
(s^{2}U(s)-1)-2(sU(s))+2U(s)=0.
  1. Agrupar termos:
(s^{2}-2s+2)U(s)-1=0,
portanto
(s^{2}-2s+2)U(s)=1,
U(s)=\frac{1}{s^{2}-2s+2}.
  1. Completar o quadrado no denominador para identificar a forma padrão:
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Logo
U(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.
  1. Reconhecer a transformada conhecida: \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}. Aqui a=1 e b=1, e o numerador é 1=b. Então
u(t)=e^{t}\sin t.

Passo 6

Resumo rápido de por que cada passo funciona (um empurrãozinho final para fixar):
  • Em cada PVI transformei a equação diferencial em uma equação algébrica em s usando \mathcal{L}. Isso é útil porque as derivadas viram polinômios multiplicando Y(s) mais termos com as condições iniciais.
  • Depois isolei Y(s) (ou U(s)), decompus em frações simples quando o denominador se fatorou em termos lineares, ou completei o quadrado quando o denominador tinha forma (s-a)^{2}+b^{2}.
  • Por fim usei as transformadas inversas padrão (exponenciais e seno/cosseno multiplicados por um decaimento/exponencial) para voltar ao domínio do tempo t.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{5}e^{3t}+\frac{4}{5}e^{-2t}
\displaystyle y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}
\displaystyle u(t)=e^{t}\sin t

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