Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
f(t)=\operatorname{sen}^{2} t \mathbf{i}+\cos ^{2} t \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}, \quad t=\pi / 4

Passo 1

O enunciado fornece a função vetor
f(t)=\sin^{2}t\,\mathbf{i}+\cos^{2}t\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}
e pede para determinar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto com parâmetro t=\pi/4.
Informações dadas:
  • Componente x(t)=\sin^{2}t.
  • Componente y(t)=\cos^{2}t.
  • Componente z(t)=t^{2}.
  • Valor do parâmetro onde queremos \mathbf{T}: t=\pi/4.

Passo 2

Definição e ideia principal (aula curta):
  • O vetor tangente (não normalizado) a uma curva dada por \mathbf{r}(t) é a derivada \mathbf{r}'(t). Em notação do enunciado, \mathbf{r}(t)=f(t).
  • O vetor tangente unitário é a normalização de \mathbf{r}'(t):
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Aqui \|\mathbf{r}'(t)\| é a norma (módulo) do vetor derivada, calculada por \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} para \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z).
Regras de derivação que vamos usar (explicadas):
  • Regra da cadeia para \sin^{2}t: se u(t)=\sin t então \dfrac{d}{dt}u(t)^2=2u(t)u'(t). Aqui u'(t)=\cos t, então \dfrac{d}{dt}\sin^{2}t=2\sin t\cos t. Observação prática: 2\sin t\cos t=\sin 2t.
  • Semelhantemente, \dfrac{d}{dt}\cos^{2}t=2\cos t(-\sin t)=-2\sin t\cos t=-\sin 2t.
  • \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente:
  • Derivada de x(t)=\sin^{2}t:
\frac{d}{dt}\sin^{2}t=2\sin t\cos t=\sin 2t.
  • Derivada de y(t)=\cos^{2}t:
\frac{d}{dt}\cos^{2}t=-2\sin t\cos t=-\sin 2t.
  • Derivada de z(t)=t^{2}:
\frac{d}{dt}t^{2}=2t.
Portanto a derivada vetorial é
\mathbf{r}'(t)=\sin 2t\,\mathbf{i}-\sin 2t\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t=\pi/4.
Calcular \sin(2t) em t=\pi/4:
\sin\bigl(2\cdot\frac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Calcular 2t em t=\pi/4:
2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Logo
\mathbf{r}'\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1\cdot\mathbf{i}-1\cdot\mathbf{j}+\frac{\pi}{2}\,\mathbf{k} =\mathbf{i}-\mathbf{j}+\frac{\pi}{2}\mathbf{k}.

Passo 5

Calcular a norma \|\mathbf{r}'(\pi/4)\|:
\|\mathbf{r}'(\tfrac{\pi}{4})\| =\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}} =\sqrt{1+1+\frac{\pi^{2}}{4}} =\sqrt{2+\frac{\pi^{2}}{4}}.
Para uma forma alternativa, escrever com denominador comum:
\sqrt{2+\frac{\pi^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{8+\pi^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{8+\pi^{2}}}{2}.

Passo 6

Normalizar \mathbf{r}'(\pi/4) para obter \mathbf{T}(\pi/4):
\mathbf{T}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{\mathbf{r}'(\tfrac{\pi}{4})}{\|\mathbf{r}'(\tfrac{\pi}{4})\|} =\frac{\mathbf{i}-\mathbf{j}+\tfrac{\pi}{2}\mathbf{k}}{\sqrt{2+\tfrac{\pi^{2}}{4}}}.
Multiplicando numerador e denominador por 2 (para simplificar a aparência) obtemos a forma
\mathbf{T}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{2}{\sqrt{8+\pi^{2}}}\,\mathbf{i}-\frac{2}{\sqrt{8+\pi^{2}}}\,\mathbf{j}+\frac{\pi}{\sqrt{8+\pi^{2}}}\,\mathbf{k}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{2}{\sqrt{8+\pi^{2}}}\,\mathbf{i}-\frac{2}{\sqrt{8+\pi^{2}}}\,\mathbf{j}+\frac{\pi}{\sqrt{8+\pi^{2}}}\,\mathbf{k}

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