Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro dado
.
Passo 1
O enunciado fornece a função vetor
e pede para determinar o vetor tangente unitário
no ponto com parâmetro
.
Informações dadas:
- Componente
. - Componente
. - Componente
. - Valor do parâmetro onde queremos
: .
Passo 2
Definição e ideia principal (aula curta):
- O vetor tangente (não normalizado) a uma curva dada por
é a derivada . Em notação do enunciado, . - O vetor tangente unitário é a normalização de
:
Aqui
é a norma (módulo) do vetor derivada, calculada por
para
.
Regras de derivação que vamos usar (explicadas):
- Regra da cadeia para
: se então . Aqui , então . Observação prática: . - Semelhantemente,
. -
.
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Portanto a derivada vetorial é
Passo 4
Avaliar
em
.
Calcular em
:
Calcular
Calcular
em
:
Logo
Passo 5
Calcular a norma
:
Para uma forma alternativa, escrever com denominador comum:
Passo 6
Normalizar
para obter
:
Multiplicando numerador e denominador por
(para simplificar a aparência) obtemos a forma