Q3[2.0]. Estude a convergência da integral
\int_{1}^{+\infty} \frac{2+\cos x}{x} d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{2+\cos x}{x}\,dx.
  • O que se pede: estudar a convergência dessa integral (isto é, decidir se ela converge ou diverge).
  • Observações extraídas do integrando que serão úteis:
    • A função \cos x é limitada: -1\le \cos x\le 1 para todo x.
    • Pelo acima, 2+\cos x satisfaz 1\le 2+\cos x\le 3 para todo x\ge 1.
    • Logo o integrando é não-negativo para x\ge 1: \dfrac{2+\cos x}{x}\ge 0.

Passo 2

Definição e ideia de integral imprópria que vou usar.
  • A integral \displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx é definida como o limite
\lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b} f(x)\,dx.
  • Dizemos que a integral converge se esse limite existe e é finito; caso contrário diverge.
  • Para funções não-negativas, um teste simples e muito usado é o teste de comparação: se para todo x\ge 1 vale f(x)\ge g(x)\ge 0 e \int_{1}^{+\infty} g(x)\,dx = +\infty, então \int_{1}^{+\infty} f(x)\,dx = +\infty (ou seja, diverge).

Passo 3

Aplicando a desigualdade obtida a partir de \cos x.
  • Como disse antes, para todo x vale -1\le \cos x. Portanto
2+\cos x \ge 2-1 = 1.
  • Dividindo por x>0 (aqui x\ge 1), obtém-se
\frac{2+\cos x}{x} \ge \frac{1}{x}\qquad\text{para todo }x\ge 1.
  • Assim posso comparar a integral dada com a integral de \dfrac{1}{x}.

Passo 4

Calcular a integral de comparação \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x}\,dx.
  • Para b>1,
\int_{1}^{b} \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_{1}^{b} = \ln b - \ln 1 = \ln b.
  • Fazendo b\to+\infty obtemos
\lim_{b\to+\infty} \ln b = +\infty,
ou seja,
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx = +\infty.

Passo 5

Concluir a divergência da integral original por comparação.
  • De Passo 3 temos \dfrac{2+\cos x}{x}\ge \dfrac{1}{x}\ge 0 para todo x\ge 1.
  • De Passo 4 temos \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{x}\,dx = +\infty.
  • Pelo teste de comparação (forma contrária: se f\ge g\ge 0 e \int g = +\infty, então \int f = +\infty), segue que
\int_{1}^{+\infty} \frac{2+\cos x}{x}\,dx = +\infty.
  • Logo a integral diverge (mais especificamente, diverge para +\infty).

Passo 6

Comentário didático extra (para fixar a ideia).
  • Às vezes pode aparecer a dúvida: mas \dfrac{\cos x}{x} sozinho converge (condicionalmente) e “talvez” cancele o termo 2/x. Explicação curta: realmente \int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\,dxconverge (por exemplo pelo teste de Dirichlet: \int_{1}^{X}\cos x\,dx=\sin X-\sin 1 é limitado e 1/x é monótona decrescente para x\ge1 com limite 0). Porém isso não basta para cancelar a divergência do termo \dfrac{2}{x}: somar uma função cuja integral diverge (aqui \dfrac{2}{x}) com outra cuja integral converge produz uma integral que diverge. A comparação com \dfrac{1}{x} que fiz é mais direta e conclusiva.
  • Também, a integral não é absolutamente convergente, pois |2+\cos x|\ge 1 e então \int_{1}^{\infty}\dfrac{|2+\cos x|}{x}\,dx\ge \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx=+\infty.

Resposta

A integral diverge (diverge para +\infty).

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