Q3[2.0]. Estude a convergência da integral
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a integral imprópria
- O que se pede: estudar a convergência dessa integral (isto é, decidir se ela converge ou diverge).
- Observações extraídas do integrando que serão úteis:
- A função
é limitada: para todo . - Pelo acima,
satisfaz para todo . - Logo o integrando é não-negativo para
: .
- A função
Passo 2
Definição e ideia de integral imprópria que vou usar.
- A integral
é definida como o limite
- Dizemos que a integral converge se esse limite existe e é finito; caso contrário diverge.
- Para funções não-negativas, um teste simples e muito usado é o teste de comparação: se para todo
vale e , então (ou seja, diverge).
Passo 3
Aplicando a desigualdade obtida a partir de
.
- Como disse antes, para todo
vale . Portanto
- Dividindo por
(aqui ), obtém-se
- Assim posso comparar a integral dada com a integral de
.
Passo 4
Calcular a integral de comparação
.
- Para
,
- Fazendo
obtemos
ou seja,
Passo 5
Concluir a divergência da integral original por comparação.
- De Passo 3 temos
para todo . - De Passo 4 temos
. - Pelo teste de comparação (forma contrária: se
e , então ), segue que
- Logo a integral diverge (mais especificamente, diverge para
).
Passo 6
Comentário didático extra (para fixar a ideia).
- Às vezes pode aparecer a dúvida: mas
sozinho converge (condicionalmente) e “talvez” cancele o termo . Explicação curta: realmente converge (por exemplo pelo teste de Dirichlet: é limitado e é monótona decrescente para com limite ). Porém isso não basta para cancelar a divergência do termo : somar uma função cuja integral diverge (aqui ) com outra cuja integral converge produz uma integral que diverge. A comparação com que fiz é mais direta e conclusiva. - Também, a integral não é absolutamente convergente, pois
e então .
Resposta
A integral diverge (diverge para
).