Q1[6.0]. Calcule as intograis:
\int \frac{x^{3}+2 x-1}{x^{2}+2 x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+2 x-1}{x^{2}+2 x-3}\,dx.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O numerador é o polinômio \,x^{3}+2x-1\, (grau 3).
  • O denominador é o polinômio \,x^{2}+2x-3\, (grau 2).
  • Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a expressão racional pode ser escrita como um polinômio mais uma fração própria (ou seja, haverá divisão polinomial seguida de decomposição em frações simples se necessário).
  • O denominador fatoriza-se como produto de fatores lineares reais (se isso ocorrer, poderemos usar decomposição em frações parciais).

Passo 2

Primeiro passo técnico: fazer a divisão polinomial de
\frac{x^{3}+2x-1}{x^{2}+2x-3}.
Vou executar a divisão passo a passo (dividendo menos produto do quociente vezes divisor):
  1. Divida o termo de maior grau: \dfrac{x^{3}}{x^{2}} = x. Multiplica-se o divisor por x:
x\cdot (x^{2}+2x-3) = x^{3}+2x^{2}-3x.
Subtrai-se do dividendo:
(x^{3}+0x^{2}+2x-1) - (x^{3}+2x^{2}-3x) = -2x^{2}+5x-1.
  1. Agora divida -2x^{2} por x^{2}: \dfrac{-2x^{2}}{x^{2}} = -2. Multiplica-se o divisor por -2:
-2\cdot(x^{2}+2x-3) = -2x^{2}-4x+6.
Subtrai-se:
(-2x^{2}+5x-1) - (-2x^{2}-4x+6) = 9x-7.
Logo, o quociente é x-2 e o resto é 9x-7. Assim podemos reescrever a integranda como
\frac{x^{3}+2x-1}{x^{2}+2x-3} = x-2 + \frac{9x-7}{x^{2}+2x-3}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Primeiro, as partes polinomiais são simples:
\int (x-2)\,dx = \int x\,dx - \int 2\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x.
Fica então por integrar a fração própria
\int \frac{9x-7}{x^{2}+2x-3}\,dx.
Antes de decompor, fatoro o denominador para ver a forma:
x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1).
Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, podemos usar decomposição em frações simples:
\frac{9x-7}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3},
onde [A) e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+3) obtemos a identidade
9x-7 = A(x+3) + B(x-1).
Expandindo:
9x-7 = (A+B)x + (3A - B).
Comparando coeficientes dos termos em x e termo constante:
\begin{cases} A + B = 9,\\[4pt] 3A - B = -7. \end{cases}
Somando as duas equações elimina (B]:
(A+B) + (3A - B) = 9 + (-7) \quad\Rightarrow\quad 4A = 2 \quad\Rightarrow\quad A = \tfrac{1}{2}.
Então
B = 9 - A = 9 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{17}{2}.
Portanto
\frac{9x-7}{x^{2}+2x-3} = \frac{1/2}{x-1} + \frac{17/2}{x+3}.]

Passo 4

Agora integro essa decomposição termo a termo usando integrais básicas:
  • Regra: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
  • Já integramos a parte polinomial no Passo 3.
Assim,
\int \frac{9x-7}{x^{2}+2x-3}\,dx = \int \left(\frac{1/2}{x-1} + \frac{17/2}{x+3}\right) dx = \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{17}{2}\ln|x+3| + C.

Passo 5

Juntando todas as parcelas obtidas:
\int \frac{x^{3}+2x-1}{x^{2}+2x-3}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 2x + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{17}{2}\ln|x+3| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2} - 2x + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{17}{2}\ln|x+3| + C

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