Q1[6.0]. Calcule as intograis:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
(grau ). - O denominador é o polinômio
(grau ). - Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a expressão racional pode ser escrita como um polinômio mais uma fração própria (ou seja, haverá divisão polinomial seguida de decomposição em frações simples se necessário).
- O denominador fatoriza-se como produto de fatores lineares reais (se isso ocorrer, poderemos usar decomposição em frações parciais).
Passo 2
Primeiro passo técnico: fazer a divisão polinomial de
Vou executar a divisão passo a passo (dividendo menos produto do quociente vezes divisor):
- Divida o termo de maior grau:
. Multiplica-se o divisor por :
Subtrai-se do dividendo:
- Agora divida
por : . Multiplica-se o divisor por :
Subtrai-se:
Logo, o quociente é
e o resto é
. Assim podemos reescrever a integranda como
Passo 3
Agora integramos termo a termo. Primeiro, as partes polinomiais são simples:
Fica então por integrar a fração própria
Antes de decompor, fatoro o denominador para ver a forma:
Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, podemos usar decomposição em frações simples:
onde [A) e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Expandindo:
Comparando coeficientes dos termos em
e termo constante:
Somando as duas equações elimina (B]:
Então
Então
Portanto
Passo 4
Agora integro essa decomposição termo a termo usando integrais básicas:
- Regra:
. - Já integramos a parte polinomial no Passo 3.
Assim,
Passo 5
Juntando todas as parcelas obtidas:
onde
é a constante de integração.