Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=(t, \cos t, 3 \sin t),-5 \leq t \leq 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
r(t) = (\,t,\;\cos t,\;3\sin t\,),\quad -5\le t\le5.
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma curva em \mathbb{R}^3. Vamos precisar de (i) derivar r(t), (ii) calcular o módulo \|r'(t)\| e (iii) integrar esse módulo no intervalo dado.

Passo 2

Derivando componente a componente, temos
r'(t) = \bigl(1,\;-\sin t,\;3\cos t\bigr).

Passo 3

O módulo de r'(t) é
\|r'(t)\| = \sqrt{1^2 + (-\sin t)^2 + (3\cos t)^2} = \sqrt{1 + \sin^2 t + 9\cos^2 t}.
Reorganizando usando \sin^2t+\cos^2t=1, obtemos
\|r'(t)\| = \sqrt{1 + (\,\sin^2 t + \cos^2 t\,) + 8\cos^2 t} = \sqrt{2 + 8\cos^2 t} = \sqrt{2}\,\sqrt{1 + 4\cos^2 t}.

Passo 4

O comprimento de arco é
L = \int_{-5}^{5} \|r'(t)\|\,dt = \int_{-5}^{5} \sqrt{2}\,\sqrt{1 + 4\cos^2 t}\,dt.
Como \sqrt{1+4\cos^2 t} é função par, podemos escrever
L = 2\sqrt{2} \int_{0}^{5} \sqrt{1 + 4\cos^2 t}\,dt.

Resposta

L = 2\sqrt{2} \int_{0}^{5} \sqrt{1 + 4\cos^2 t}\,dt.

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