Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t .
r(t)=t e^{-t} \vec{i}+2 \arctan t \vec{j}+2 e^{t} \vec{k}, t=0

Passo 1

O enunciado fornece o vetor de posição
r(t)=t e^{-t}\,\vec{i}+2\arctan t\,\vec{j}+2e^{t}\,\vec{k}
e pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto de parâmetro t=0. O conteúdo exigido é derivada de funções vetoriais e normalização, lembrando que
T(t)=\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|}.

Passo 2

Para obter r'(t), derivamos componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(t e^{-t}\bigr)=e^{-t}-t e^{-t}=(1-t)e^{-t}, \quad \frac{d}{dt}\bigl(2\arctan t\bigr)=\frac{2}{1+t^{2}}, \quad \frac{d}{dt}\bigl(2e^{t}\bigr)=2e^{t}.
Logo,
r'(t)=(1-t)e^{-t}\,\vec{i}+\frac{2}{1+t^{2}}\,\vec{j}+2e^{t}\,\vec{k}.

Passo 3

Avaliando em t=0:
r'(0)=(1-0)e^{0}\,\vec{i}+\frac{2}{1+0^{2}}\,\vec{j}+2e^{0}\,\vec{k} =\vec{i}+2\,\vec{j}+2\,\vec{k}.

Passo 4

Calculamos o módulo de r'(0):
\|r'(0)\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3.
Em seguida, normalizamos para obter o vetor tangente unitário em t=0:
T(0)=\frac{r'(0)}{\|r'(0)\|}=\frac{1}{3}\,\vec{i}+\frac{2}{3}\,\vec{j}+\frac{2}{3}\,\vec{k}.

Resposta

T(0)=\frac{1}{3}\,\vec{i}+\frac{2}{3}\,\vec{j}+\frac{2}{3}\,\vec{k}.

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