Seja
. Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é
. A notação
significa a derivada parcial mista obtida diferenciando
primeiro em relação a
e depois em relação a
; em símbolos,
Também é bom lembrar duas regras básicas que usaremos:
- Regra da potência: se
então . - Quando se diferencia parcialmente em relação a uma variável, as outras variáveis são tratadas como constantes. Assim, por exemplo, ao diferenciar em
a expressão podemos ver como constante e aplicar a regra da potência em .
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
, isto é
. Diferenciando termo a termo:
- Para
: como é constante em relação a ,
- Para
: é constante, então
- Para
: é constante, então
Somando os termos:
Passo 4
Agora diferenciamos
em relação a
para obter
. Novamente, fazemos termo a termo:
- Para
: é constante em relação a , e pela regra da potência
- Para
: não depende de , logo
- Para
: é constante em relação a , então
Somando:
Passo 5
(Verificação rápida usando a outra ordem) Como observação e para dar mais confiança, pode-se calcular primeiro
e depois
. Fazendo isso chega-se ao mesmo resultado porque as derivadas parciais segundas mistas são iguais quando as funções têm segundas derivadas contínuas (teorema de Clairaut). Aqui, calcular
dá
e então
que coincide com
obtido acima.