Seja f(x, y, z)=x^{3} y^{5} z^{7}+x y^{2}+y^{3} z. Determine
f_{y z}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{3}y^{5}z^{7}+x y^{2}+y^{3}z
e pede para determinar f_{y z}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é f_{y z}. A notação f_{y z} significa a derivada parcial mista obtida diferenciando f primeiro em relação a y e depois em relação a z; em símbolos,
f_{y z}=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Também é bom lembrar duas regras básicas que usaremos:
  • Regra da potência: se g(y)=y^{n} então \dfrac{d}{dy}y^{n}=n y^{n-1}.
  • Quando se diferencia parcialmente em relação a uma variável, as outras variáveis são tratadas como constantes. Assim, por exemplo, ao diferenciar em y a expressão x^{3}z^{7}y^{5} podemos ver x^{3}z^{7} como constante e aplicar a regra da potência em y^{5}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y, isto é f_{y}. Diferenciando termo a termo:
  • Para x^{3}y^{5}z^{7}: como x^{3}z^{7} é constante em relação a y,
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{5}z^{7}\big)=x^{3}z^{7}\cdot\frac{d}{dy}y^{5}=x^{3}z^{7}\cdot 5y^{4}=5x^{3}y^{4}z^{7}.
  • Para x y^{2}: x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big)=x\cdot\frac{d}{dy}y^{2}=x\cdot 2y=2xy.
  • Para y^{3}z: z é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}z\big)=z\cdot\frac{d}{dy}y^{3}=z\cdot 3y^{2}=3y^{2}z.
Somando os termos:
f_{y}=5x^{3}y^{4}z^{7}+2xy+3y^{2}z.

Passo 4

Agora diferenciamos f_{y} em relação a z para obter f_{y z}. Novamente, fazemos termo a termo:
  • Para 5x^{3}y^{4}z^{7}: 5x^{3}y^{4} é constante em relação a z, e pela regra da potência
\frac{\partial}{\partial z}\big(5x^{3}y^{4}z^{7}\big)=5x^{3}y^{4}\cdot\frac{d}{dz}z^{7}=5x^{3}y^{4}\cdot 7z^{6}=35x^{3}y^{4}z^{6}.
  • Para 2xy: não depende de z, logo
\frac{\partial}{\partial z}(2xy)=0.
  • Para 3y^{2}z: 3y^{2} é constante em relação a z, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(3y^{2}z\big)=3y^{2}\cdot\frac{d}{dz}z=3y^{2}.
Somando:
f_{y z}=35x^{3}y^{4}z^{6}+3y^{2}.

Passo 5

(Verificação rápida usando a outra ordem) Como observação e para dar mais confiança, pode-se calcular primeiro f_{z} e depois f_{z y}. Fazendo isso chega-se ao mesmo resultado porque as derivadas parciais segundas mistas são iguais quando as funções têm segundas derivadas contínuas (teorema de Clairaut). Aqui, calcular f_{z}
f_{z}=7x^{3}y^{5}z^{6}+y^{3},
e então
f_{z y}=35x^{3}y^{4}z^{6}+3y^{2},
que coincide com f_{y z} obtido acima.

Resposta

35x^{3}y^{4}z^{6}+3y^{2}

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