Seja f(x, y, z)=x^{3} y^{5} z^{7}+x y^{2}+y^{3} z. Determine
f_{x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x^{3}y^{5}z^{7}+x y^{2}+y^{3}z
e pede que se determine f_{x y}, ou seja, a derivada parcial de f primeiro em relação a x e depois em relação a y.
Informações relevantes dadas:
  • A função é explícita em x,y,z.
  • Queremos a derivada mista \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).

Passo 2

Lembrete rápido e regras que vou usar (explicadinhas):
  • Derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, trata-se as demais como constantes. Por exemplo, ao derivar em relação a x, y e z são constantes.
  • Regra da potência (uma variável): para g(t)=t^{n} vale g'(t)=n t^{\,n-1}.
  • Regra do produto (quando necessário): \dfrac{\partial}{\partial x}(u v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}. No nosso caso, muitos termos são monômios onde uma das variáveis aparece com potência e as outras são fatores constantes, então a aplicação fica simples: derivar só a parte que depende da variável e multiplicar pelo restante que é constante.

Passo 3

Calcular primeiro f_{x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}. Vou derivar termo a termo, tratando y e z como constantes.
  • Para o termo x^{3}y^{5}z^{7}: aqui y^{5}z^{7} é constante em relação a x. Aplicando a regra da potência em x^{3},
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{5}z^{7}\bigr)=3x^{2}\,y^{5}z^{7}.
  • Para o termo x y^{2}: y^{2} é constante em relação a x, e \dfrac{d}{dx}x=1, logo
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x y^{2}\bigr)=y^{2}.
  • Para o termo y^{3}z: não depende de x, logo sua derivada em relação a x é zero:
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}z\bigr)=0.
Somando os resultados:
f_{x}=3x^{2}y^{5}z^{7}+y^{2}.

Passo 4

Agora calculamos f_{x y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{x}\bigr). Ao derivar em relação a y tratamos x e z como constantes. Vou novamente aplicar a regra da potência termo a termo.
  • Para o termo 3x^{2}y^{5}z^{7}: 3x^{2}z^{7} é constante em relação a y. Aplicando a regra da potência em y^{5},
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{5}z^{7}\bigr)=3x^{2}z^{7}\cdot 5y^{4}=15x^{2}y^{4}z^{7}.
  • Para o termo y^{2}: aplicar a regra da potência em y^{2},
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y.

Passo 5

Somando as derivações do passo anterior obtemos
f_{x y}=15x^{2}y^{4}z^{7}+2y.

Passo 6

Comentário rápido de verificação (opcional): se quiser checar, pode-se calcular primeiro f_{y} e depois f_{y x}; desde que as derivadas parciais sejam contínuas, vale f_{x y}=f_{y x}. Fazendo essa verificação (não detalhada aqui) obtém-se o mesmo resultado acima, o que confirma a consistência.

Resposta

15x^{2}y^{4}z^{7}+2y

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