Seja
. Determine
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que se determine
, ou seja, a derivada parcial de
primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é explícita em
. - Queremos a derivada mista
.
Passo 2
Lembrete rápido e regras que vou usar (explicadinhas):
- Derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, trata-se as demais como constantes. Por exemplo, ao derivar em relação a
, e são constantes. - Regra da potência (uma variável): para
vale . - Regra do produto (quando necessário):
. No nosso caso, muitos termos são monômios onde uma das variáveis aparece com potência e as outras são fatores constantes, então a aplicação fica simples: derivar só a parte que depende da variável e multiplicar pelo restante que é constante.
Passo 3
Calcular primeiro
. Vou derivar termo a termo, tratando
e
como constantes.
- Para o termo
: aqui é constante em relação a . Aplicando a regra da potência em ,
- Para o termo
: é constante em relação a , e , logo
- Para o termo
: não depende de , logo sua derivada em relação a é zero:
Somando os resultados:
Passo 4
Agora calculamos
. Ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes. Vou novamente aplicar a regra da potência termo a termo.
- Para o termo
: é constante em relação a . Aplicando a regra da potência em ,
- Para o termo
: aplicar a regra da potência em ,
Passo 5
Somando as derivações do passo anterior obtemos
Passo 6
Comentário rápido de verificação (opcional): se quiser checar, pode-se calcular primeiro
e depois
; desde que as derivadas parciais sejam contínuas, vale
. Fazendo essa verificação (não detalhada aqui) obtém-se o mesmo resultado acima, o que confirma a consistência.