Determine o comprimento da curva dada:
y=1-log (cos x), pi6 <= x <= pi4

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = 1 - lnl(cos xr)
no intervalo pi6 <= x <= pi4.
O conteúdo é cálculo de comprimento de curva de função explícita y(x) e vamos usar a fórmula
L = integrala^b raiz1+l(y'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como y = 1 - ln(cos x), pela regra da cadeia temos
y'(x) = -1cos xcdotl(-sin xr) = tan x

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos
L = integralpi/6^pi/4 raiz1+tan^2 x,dx
Como sabemos que 1+tan^2 x = sec^2 x, isso simplifica para
L = integralpi/6^pi/4 sec x ,dx

Passo 4

Usamos a antiderivada conhecida
integral sec x ,dx = lnl|sec x + tan xr| + C
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L = l[lnl|sec x + tan xr|r]pi/6^pi/4

Passo 5

Avaliamo em x = pi4 e x = pi6:
Para x=pi4: sectfracpi4=raiz2, tantfracpi4=1 Rightarrow sec+tan=raiz2+1.
Para x=pi6: sectfracpi6=tfrac2raiz3, tantfracpi6=tfrac1raiz3 Rightarrow sec+tan=tfrac2raiz3+tfrac1raiz3=raiz3.
Portanto
L = lnl(raiz2+1r) - lnl(raiz3r) = ln!gl(raiz2+1raiz3gr)

Resposta

L = ln!gl(raiz2+1raiz3gr)

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