Exercício 5. (Apostol, capítulo 9.5, exercício 3)
Suponha que f: R^2 backslash0 R ao ser escrito usando coordenadas polares se torna uma função que apenas depende de r: g(r). Mostre que neste caso
De<a f=1r g^prime(r)+g^prime prime(r)
Conclua que f(x, y)=a log (x^2+y^2)+b é uma solução da equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:R^2setminus0toR que em coordenadas polares depende só de r=raizx^2+y^2. Ou seja,
f(x,y)=g(r)
O objetivo é calcular o laplaciano De<a f=fxx+fyy usando a regra da cadeia e mostrar que
De<a f=1r,g'(r)+g''(r)
Em seguida, aplicar esse resultado a f(x,y)=alog(x^2+y^2)+b e verificar que De<a f=0.

Passo 2

Primeiro, usamos a regra da cadeia para achar as derivadas primeiras. Como r=raizx^2+y^2, temos
rx=xr, ry=yr
Logo
fx = g'(r),rx = g'(r),xr, fy = g'(r),ry = g'(r),yr

Passo 3

Agora calculamos as derivadas segundas. Para fxx:
fxx =partialxl(g'(r)xrr) =g''(r),xr,rx +g'(r),partialx!l(xrr)
Usando rx=x/r e
partialx!l(xrr)=1r-xcdot rxr^2 =1r-x^2r^3,
obtemos
fxx =g''(r)x^2r^2 +g'(r)l(1r-x^2r^3r)
Analogamente,
fyy =g''(r)y^2r^2 +g'(r)l(1r-y^2r^3r)
Somando,
De<a f=fxx+fyy =g''(r)x^2+y^2r^2 +g'(r)l(2r-x^2+y^2r^3r)
Como x^2+y^2=r^2, isso simplifica para
De<a f =g''(r)r^2r^2 +g'(r)l(2r-r^2r^3r) =g''(r)+g'(r)1r

Passo 4

Para f(x,y)=alog(x^2+y^2)+b note que em função de r temos
f(x,y)=alog(r^2)+b=2alog r+b,
então
g(r)=2alog r+b, g'(r)=2ar, g''(r)=-2ar^2
Substituindo em De<a f=g''(r)+tfrac1rg'(r)
De<a f =-2ar^2+1r,2ar =-2ar^2+2ar^2 =0

Resposta

A fórmula geral De<a f=tfrac1rg'(r)+g''(r) foi verificada, e para f(x,y)=alog(x^2+y^2)+b obtemos De<a f=0, ou seja, essa f é solução da equação de Laplace.

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