Exercício 5. (Apostol, capítulo 9.5, exercício 3)
Suponha que
ao ser escrito usando coordenadas polares se torna uma função que apenas depende de
. Mostre que neste caso
Conclua que
é uma solução da equação de Laplace.
Suponha que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
que em coordenadas polares depende só de
. Ou seja,
O objetivo é calcular o laplaciano
usando a regra da cadeia e mostrar que
Em seguida, aplicar esse resultado a
e verificar que
.
Passo 2
Primeiro, usamos a regra da cadeia para achar as derivadas primeiras. Como
, temos
Logo
Passo 3
Agora calculamos as derivadas segundas. Para
:
Usando
e
,
obtemos
obtemos
Analogamente,
Somando,
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Para
note que em função de
temos
então
Substituindo em
dá
Resposta
A fórmula geral
foi verificada, e para
obtemos
, ou seja, essa
é solução da equação de Laplace.