Determine o comprimento da curva
(7)
lx(t)=1+3 t^2 y(t)=4+2 t^3.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: “Determinar o comprimento da curva paramétrica
C:l x(t)=1+3t^2 y(t)=4+2t^3 , tin[0,1]
”.
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo: comprimento de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar das derivadas x'(t) e y'(t) e usar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, calculando as derivadas (regra do polinômio, derivada de t^n é n,t^n-1):
x(t)=1+3t^2;Rightarrow;x'(t)=6t,
y(t)=4+2t^3;Rightarrow;y'(t)=6t^2

Passo 3

Agora, a fórmula geral do comprimento de uma curva paramétrica C de t=a a t=b é
L=integrala^braizl[x'(t)r]^2+l[y'(t)r]^2,dt

Passo 4

Substituindo x'(t) e y'(t) dentro da raiz:
[x'(t)]^2+[y'(t)]^2 = (6t)^2+(6t^2)^2 = 36t^2+36t^4 = 36t^2(1+t^2)
Como t>=0 em [0,1], a raiz fica
raiz36t^2(1+t^2) = 6traiz1+t^2
Então a integral do comprimento é
L = integral0^1 6traiz1+t^2,dt

Passo 5

Para calcular integral0^1 6traiz1+t^2,dt, vamos usar substituição:
defina u=1+t^2 então du=2t,dt, ou seja t,dt=du/2. Quando t=0, u=1; quando t=1, u=2. A integral vira
L = integralu=1^u=26raizu,du2 = 3integral1^2 u^1/2,du
A primitiva de u^1/2 é 23u^3/2. Logo
L = 3l[tfrac23u^3/2r]1^2 = 2l(2^3/2-1^3/2r) = 2l(2raiz2-1r) = 4raiz2-2

Resposta

L = 4raiz2 - 2

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