Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 3n(n+3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 3n(n+3) converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar conceitos de decomposição em frações parciais e séries telescópicas.

Passo 2

Para decompor o termo geral em frações parciais, escrevemos
3n(n+3)=An+Bn+3
Multiplicando em cruz: 3=A(n+3)+Bn. Igualando coeficientes de n e termos constantes, temos
A+B=0, 3A=3
Logo A=1 e B=-1. Assim
3n(n+3)=1n-1n+3

Passo 3

Agora consideramos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^Nl(1n-1n+3r)
Escrevendo alguns termos, notamos o cancelamento telescópico:
SN=l(1+tfrac12+tfrac13+tfrac14+cdots+tfrac1Nr)-l(tfrac14+tfrac15+cdots+tfrac1N+3r)
Após o cancelamento restam apenas
SN=1+tfrac12+tfrac13-l(tfrac1N+1+tfrac1N+2+tfrac1N+3r)

Passo 4

Tomando o limite quando Ntoinfty, os termos 1/(N+1),1/(N+2),1/(N+3) tendem a zero. Logo
sumn=1^infty3n(n+3)=1+tfrac12+tfrac13=tfrac116
Portanto a série é convergente e sua soma é 11/6.

Resposta

A série é convergente e sua soma é 11/6.

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