Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar conceitos de decomposição em frações parciais e séries telescópicas.
Passo 2
Para decompor o termo geral em frações parciais, escrevemos
Multiplicando em cruz:
. Igualando coeficientes de
e termos constantes, temos
Logo
e
. Assim
Passo 3
Agora consideramos a soma parcial até
:
Escrevendo alguns termos, notamos o cancelamento telescópico:
Após o cancelamento restam apenas
Passo 4
Tomando o limite quando
, os termos
tendem a zero. Logo
Portanto a série é convergente e sua soma é
.
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.