Seja f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}. Com relação à concavidade da função f é correto afirmar que é voltada
Escolha uma opção:
a. para cima em (1 / \sqrt{3},+\infty).
b. para baixo em (-\infty,-1 / \sqrt{3}) \cup(1 / \sqrt{3},+\infty) ).
c. para baixo em (-\infty,-1 / \sqrt{3}).
d. para cima em (0,+\infty).
e. para baixo em (-\infty,-1) \cup(1,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}
e pede para identificar onde ela é côncava para cima (concavidade voltada para cima) ou côncava para baixo (concavidade voltada para baixo). O conteúdo envolve cálculo da segunda derivada f''(x) e análise do seu sinal.

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x) pelo quociente:
f'(x) =\frac{(2x)(x^2+1)-(x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} =\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} =\frac{4x}{(x^2+1)^2}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada f''(x). Usando derivada de produto e cadeia em f'(x)=4x\,(x^2+1)^{-2}:
f''(x) =4\cdot(x^2+1)^{-2} +4x\cdot(-2)\,(x^2+1)^{-3}\cdot(2x) =\frac{4}{(x^2+1)^2}-\frac{16x^2}{(x^2+1)^3} =\frac{4\bigl((x^2+1)-4x^2\bigr)}{(x^2+1)^3} =\frac{4\,(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}.

Passo 4

Como (x^2+1)^3>0 para todo x, o sinal de f''(x) é dado por 1-3x^2.
  1. Se 1-3x^2>0 então |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, e f é côncava para cima nesse intervalo.
  2. Se 1-3x^2<0 então |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}}, e f é côncava para baixo em
(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(\tfrac{1}{\sqrt{3}},+\infty).

Resposta

b. para baixo em \;(-\infty,-1/\sqrt{3})\cup(1/\sqrt{3},+\infty).

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