Determine o comprimento da curva r(t)=(2 \operatorname{sen} t) i+(5 t) j+(2 \cos t) k,-10 \leq t \leq 10

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t) = (2\sin t)\,\mathbf{i} + (5t)\,\mathbf{j} + (2\cos t)\,\mathbf{k},\quad -10\le t\le10
e pede o comprimento dessa curva. Sabemos que o comprimento L de uma curva paramétrica r(t) no intervalo [a,b] é dado por
L = \int_{a}^{b} \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Vamos calcular a derivada r'(t). Como
r(t) = \bigl(2\sin t,\;5t,\;2\cos t\bigr),
temos
r'(t) = \bigl(2\cos t,\;5,\;-2\sin t\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a norma de r'(t):
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(2\cos t)^{2} + 5^{2} + (-2\sin t)^{2}} = \sqrt{4\cos^{2}t + 25 + 4\sin^{2}t} = \sqrt{4(\cos^{2}t+\sin^{2}t)+25} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}.
Note que é uma constante.

Passo 4

Como \lVert r'(t)\rVert=\sqrt{29} é constante, o comprimento é
L = \int_{-10}^{10} \sqrt{29}\,dt = \sqrt{29}\,\bigl[t\bigr]_{-10}^{10} = \sqrt{29}\,(10 - (-10)) = 20\sqrt{29}.

Resposta

O comprimento da curva é 20\sqrt{29}.

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