Determine a derivada da função vetorial r(t)=4 t^{2} i-5 t j+e^{4 t} k.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
r(t)=4t^{2}\,\mathbf{i}-5t\,\mathbf{j}+e^{4t}\,\mathbf{k}
e pede sua derivada. O conteúdo aqui é derivar uma função vetorial componente a componente, ou seja, aplicar a derivada de cada função escalar em relação a t.

Passo 2

Derivamos a componente na direção de \mathbf{i}, que é 4t^{2}. Usando a regra do expoente, temos
\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}\bigr)=8t.

Passo 3

Derivamos a componente na direção de \mathbf{j}, que é -5t. A derivada de uma constante vezes t é a constante:
\frac{d}{dt}\bigl(-5t\bigr)=-5.

Passo 4

Derivamos a componente na direção de \mathbf{k}, que é e^{4t}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{4t}\bigr)=4e^{4t}.

Passo 5

Reunindo as derivadas das três componentes, obtemos
r'(t)=8t\,\mathbf{i}-5\,\mathbf{j}+4e^{4t}\,\mathbf{k}.

Resposta

r'(t)=8t\,\mathbf{i}-5\,\mathbf{j}+4e^{4t}\,\mathbf{k}.

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