Sejam f e g duas funções definidas em \mathbb{R} tais que, para todo x \in \mathbb{R}, temos que g(x)^{2}+f(x)^{2}=4. Calcule e justifique os limites
\lim _{x \rightarrow 0} x^{3} g(x) \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 1} f(x)(x-1)

Passo 1

O enunciado dá duas funções f e g em \mathbb{R} que satisfazem
g(x)^{2} + f(x)^{2} = 4
para todo x. Pede-se os limites
\lim_{x \to 0} x^{3}g(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x \to 1} f(x)(x-1).
O conteúdo é cálculo de limites usando que uma das parcelas tende a zero enquanto a outra fica limitada (Teorema do Confronto).

Passo 2

Da relação \,g(x)^{2}+f(x)^{2}=4 segue que
\lvert g(x)\rvert \le 2 e \lvert f(x)\rvert \le 2
para todo x. Ou seja, ambas as funções são limitadas por 2 em módulo.

Passo 3

Para \lim_{x\to0} x^{3}g(x), note que
\bigl\lvert x^{3}g(x)\bigr\rvert \le \lvert x^{3}\rvert\;\lvert g(x)\rvert \le 2\,\lvert x^{3}\rvert.
Como \lim_{x\to0}2\,\lvert x^{3}\rvert = 0, pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{x\to0} x^{3}g(x) = 0.

Passo 4

Para \lim_{x\to1} f(x)(x-1), usamos similarmente
\bigl\lvert f(x)(x-1)\bigr\rvert \le \lvert f(x)\rvert\;\lvert x-1\rvert \le 2\,\lvert x-1\rvert.
Como \lim_{x\to1}2\,\lvert x-1\rvert = 0, pelo mesmo Teorema do Confronto segue
\lim_{x\to1} f(x)(x-1) = 0.

Resposta

\lim_{x\to0} x^{3}g(x) = 0, \qquad \lim_{x\to1} f(x)(x-1) = 0.

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