Sejam f e g funções tais que \lim _{x \rightarrow p}[f(x)+g(x)]=2 e \lim _{x \rightarrow p}[f(x)-g(x)]=1. Determine o valor de
\lim _{x \rightarrow p} f(x) g(x)

Passo 1

O enunciado nos diz que \lim_{x\to p}[f(x)+g(x)]=2
e \lim_{x\to p}[f(x)-g(x)]=1.
Queremos determinar \lim_{x\to p}f(x)\,g(x).
Para isso, vamos usar as propriedades de soma, diferença e produto de limites.

Passo 2

Suponha que \lim_{x\to p}f(x)=a
e \lim_{x\to p}g(x)=b.
Pelas propriedades de limites de soma e diferença, temos:
a + b = 2,
a - b = 1.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a + b = 2,\\\ a - b = 1, \end{cases}
somamos as duas equações e obtemos 2a = 3, logo
a = \tfrac{3}{2}.
Substituindo em a + b = 2 vem
b = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como \lim_{x\to p}f(x)=a e \lim_{x\to p}g(x)=b são finitos, a propriedade do limite do produto nos dá:
\lim_{x\to p}f(x)g(x) = a\,b = \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{3}{4}

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