Determine o comprimento da curva parametrizada no espaço dada por:
r(t)=4 t i+t^2 j+t^33 k, t in[-1,2]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva no espaço dada por
r(t)=4t,i+t^2,j+t^33,k, tin[-1,2]
O conteúdo necessário é comprimento de curva paramétrica: calcular r'(t), seu módulo |r'(t)| e integrar de -1 a 2.

Passo 2

Diferenciando componente a componente, temos
r'(t) = l(4,;2t,;t^2r)
Portanto
|r'(t)| = raiz4^2 + (2t)^2 + (t^2)^2 = raiz16 + 4t^2 + t^4

Passo 3

Note que
16 + 4t^2 + t^4 = (t^2 + 2)^2,
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|r'(t)| = l|,t^2 + 2r|
Como t^2+2>0 para todo tin[-1,2], concluímos
|r'(t)| = t^2 + 2

Passo 4

O comprimento da curva é
L = integral-1^2|r'(t)|,dt = integral-1^2(t^2+2),dt = [t^33 + 2t]-1^2
Calculando os limites:
em t=2 temos tfrac83+4=tfrac203,
em t=-1 temos -tfrac13-2=-tfrac73.
Assim
L = 203 - l(-tfrac73r) = 273 =9

Resposta

9

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