Determine o comprimento da curva parametrizada no espaço dada por:
r(t)=lang<= t, cos t, sin trang<=, t in[-5,5]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada
r(t)=lang<= t,cos t,sin trang<= para tin[-5,5].
O conteúdo é a fórmula de comprimento de arco de uma curva no espaço, que diz que
L = integrala^b llVert r'(t)rrVert ,dt

Passo 2

Calcular a derivada vetor de r(t).
r'(t) = llang<= 1,,-sin t,,cos trrang<=

Passo 3

Encontrar a norma de r'(t).
llVert r'(t)rrVert = raiz1^2 +(-sin t)^2 +(cos t)^2 = raiz1 + sin^2 t + cos^2 t = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Como llVert r'(t)rrVert é constante igual a raiz2, o comprimento é
L = integral-5^5 raiz2,dt = raiz2,l[tr]-5^5 = raiz2,(5 - (-5)) = 10raiz2

Resposta

10raiz2

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