Use a definição de derivada para encontrar f^prime em cada item abaixo.
e) f(x)=8-x^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=8 - x^3 usando a definição de derivada, que é
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h
Vamos aplicar esse conceito passo a passo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a diferença f(x+h) - f(x). Temos
f(x+h) = 8 - (x+h)^3
portanto
f(x+h) - f(x) = l[8 - (x+h)^3r] - l[8 - x^3r]

Passo 3

Agora desenvolvemos o cubo e simplificamos:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3,
então
f(x+h)-f(x) = -l(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3r) + x^3 = -3x^2h - 3x h^2 - h^3
Dividindo por h obtemos
f(x+h)-f(x)h = -3x^2 - 3x h - h^2

Passo 4

Finalmente, tomamos o limite quando h to 0:
f'(x) = limhto0l(-3x^2 - 3x h - h^2r) = -3x^2

Resposta

f'(x) = -3x^2

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