A equação da busca da área de uma folha de soja por um predador é dada por
S(x)=12 cdot e^-0,4 cdot x+8
sendo x a densidade de presas por m^2.
Esboce o gráfico de S. Descreva o comportamento do modelo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que representa a área de uma folha de soja por predador, que é:
S(x) = 12 cdot e^-0,4 cdot x + 8
Aqui, é a densidade de presas por metro quadrado ( ). Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e explicar como ele se comporta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas se comportam em gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função. Temos uma parte exponencial, , e um termo constante, . A função exponencial aqui está com uma base e um expoente que depende de .

Passo 3

Vamos analisar o termo exponencial: . A base é aproximadamente 2,718, e o expoente é negativo, o que significa que, à medida que aumenta, diminui. Multiplicando por 12, ainda temos uma função que começa alta e vai diminuindo conforme cresce.

Passo 4

Agora, adicionamos o 8 ao termo exponencial. Esse 8 vai deslocar todo o gráfico para cima. Então, mesmo quando a parte exponencial se aproxima de zero, a função não será menor que 8. Isso significa que 8 é o valor assintótico da função, ou seja, a função se aproxima de 8, mas nunca abaixo disso.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns pontos:
  • Quando S(0) = 12 cdot e^0 + 8 = 12 cdot 1 + 8 = 20 :
    limx to infty S(x) = 8
    Então, o ponto inicial é (0, 20).
  • Quando aumenta:
    À medida que cresce, diminui, fazendo com que também diminua. Portanto, vai se aproximando de 8.
  • Quando tende ao infinito:
    Então, a função se aproxima de 8, mas nunca a alcança.

Passo 6

Com base nisso, o gráfico será uma curva decrescente começando em (0, 20) e se aproximando de 8 conforme aumenta. Ele nunca vai abaixo de 8, mostrando que há um limite mínimo para a área da folha por predador, independentemente da densidade de presas.

Resposta

O gráfico da função é uma curva decrescente que começa no ponto (0, 20) e se aproxima de 8 conforme aumenta, sem nunca cair abaixo desse valor. Isso indica que, à medida que a densidade de presas por metro quadrado aumenta, a área da folha de soja por predador diminui, estabilizando-se em um valor mínimo de 8.

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