Determine o comprimento da curva parametrizada no plano dada por:
C=(e^t+e^-t, 5-2 t): t in[0,3]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada
;C=(x(t),y(t))mid x(t)=e^t+e^-t,;y(t)=5-2t,;tin[0,3].
O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas:
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t)=ddtl(e^t+e^-tr)=e^t-e^-t,
y'(t)=ddt(5-2t)=-2

Passo 3

Aplicando a fórmula do comprimento:
L=integral0^3raizl(e^t-e^-tr)^2+(-2)^2;dt

Passo 4

Simplificamos o integrando:
l(e^t-e^-tr)^2+4 =e^2t-2+e^-2t+4 =e^2t+e^-2t+2 =l(e^t+e^-tr)^2
Logo,
raizl(e^t-e^-tr)^2+4 =e^t+e^-t

Passo 5

Integramos de 0 a 3:
L=integral0^3l(e^t+e^-tr),dt =l[e^t-e^-tr]0^3 =l(e^3-e^-3r)-l(1-1r) =e^3-e^-3

Resposta

O comprimento da curva é e^3-e^-3

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