Sejam f(x)=4 x^2-12 x+5 e g(x)=x+2 funções reais. Determine:
a) o menor valor de f.
b) o estudo de sinal de g.
c) o maior subconjunto real de x para o qual f(g(x))<0.
d) a função h(x), definida por partes, que é igual a |g(x)|.

Passo 1

O enunciado define f(x)=4x^2-12x+5 e g(x)=x+2, e pede:
a) o menor valor de f;
b) o estudo de sinal de g;
c) o maior subconjunto de R em que f(g(x))<0;
d) a função por partes h(x)=|g(x)|.
Bora usar completamento de quadrado, estudo de sinais de reta, composição de funções e definição de valor absoluto.

Passo 2

Pra achar o mínimo de f, a gente completa o quadrado:
f(x)=4l(x^2-3xr)+5 =4l[(x-tfrac32)^2-tfrac94r]+5 =4(x-tfrac32)^2-9+5 =4(x-tfrac32)^2-4
Como (x-tfrac32)^2>=0, o menor valor de f é -4, atingido em x=tfrac32.

Passo 3

No caso de g(x)=x+2, é uma reta com coeficiente angular positivo e raiz em x=-2. Logo,
g(x)<0se x<-2, g(x)=0em x=-2, g(x)>0se x>-2

Passo 4

Para resolver f(g(x))<0, primeiro calculamos
f(g(x))=4(x+2)^2-12(x+2)+5 =4x^2+4x-3
Queremos
4x^2+4x-3<0
As raízes de 4x^2+4x-3=0 são
x=-4pmraiz16+488 =-4pm88,
isto é, x=-tfrac32 e x=tfrac12. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a desigualdade vale para
-tfrac32<x<tfrac12

Passo 5

Como h(x)=|g(x)|=|x+2|, a definição por partes é
h(x)= -(x+2),&x+2<0;(x<-2), x+2,&x+2>=0;(x>=-2)

Resposta

a) O menor valor de f é -4.
b) g(x)<0 se x<-2, g(x)=0 em x=-2 e g(x)>0 se x>-2.
c) f(g(x))<0 para xinl(-tfrac32,tfrac12r).
d)
h(x)= -(x+2),&x<-2, x+2,&x>=-2

Exercícios relacionados