Determine o comprimento das curvas:
)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = x^56 + 110,x^3
no intervalo 1 <= x <= 2.
Este é um problema de comprimento de arco de curva no plano cartesiano. Para resolver, precisamos usar a fórmula
S = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx
e, portanto, calcular y'(x), simplificar o integrando e depois avaliar a integral de x=1 até x=2.

Passo 2

Vamos derivar
y = x^56 + 110,x^3
A derivada da primeira parcela é
ddx!l(tfracx^56r)=5,x^46,
e da segunda parcela
ddx!l(tfrac110,x^3r) =ddxl(10^-1x^-3r) =-3cdot10^-1x^-4 =-310,x^4
Logo,
y'(x)=5,x^46-310,x^4 =25,x^8-930,x^4

Passo 3

O comprimento de arco é
S = integral1^2raiz1+l(y'(x)r)^2,dx =integral1^2raiz1+(25,x^8-9)^2(30,x^4)^2,dx =integral1^2raiz900,x^8+(25,x^8-9)^230,x^4,dx
Note que
900,x^8+(25,x^8-9)^2 =625,x^16+450,x^8+81 =(25,x^8+9)^2
Então
raiz1+l(y'(x)r)^2 =25,x^8+930,x^4
e
S=integral1^225,x^8+930,x^4,dx =130integral1^2l(25,x^4+9,x^-4r),dx

Passo 4

Calculamos a integral
integrall(25,x^4+9,x^-4r),dx =25cdotx^55+9cdotx^-3-3 =5,x^5-3,x^-3
Portanto
S=130l[5,x^5-3,x^-3r]1^2 =130l((5cdot2^5-3cdot2^-3)-(5cdot1^5-3cdot1^-3)r)
Como 2^5=32 e 2^-3=tfrac18, temos
5cdot32-3cdottfrac18=160-tfrac38=tfrac12778, 5cdot1-3cdot1=2,
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S=130l(tfrac12778-2r) =130cdot12618 =1261240

Resposta

boxedS=1261240

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