Determine a função y=y(x), x>0, tal que
d yd x=3+1x e $y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede a função y=y(x), x>0, que satisfaz
dydx=3+1x
com condição inicial y(1)=2. O conteúdo necessário é antiderivação de uma soma de funções.

Passo 2

Integramos a derivada para obter y(x). Tem-se
integrall(3+1xr),dx =integral 3,dx+integral 1x,dx =3x+ln(x)+C
Logo,
y(x)=3x+ln(x)+C

Passo 3

Usamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1:
2 = y(1) = 3cdot1 + ln(1) + C = 3 + 0 + C,
logo
C = -1

Passo 4

Substituindo C=-1 em y(x), resulta
y(x)=3x+ln(x)-1

Resposta

y(x)=3x+ln(x)-1

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