Determine o comprimento das curvas abaixo:
y=r^24+14 x, de x=0 a x=3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
y = r^24 + 14x
no intervalo de x=0 até x=3. O conteúdo usado será a fórmula do comprimento de arco de uma função y(x):
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como tfracr^24 é constante em x,
y'(x) = ddxl(tfrac14xr) = -14x^2

Passo 3

Substituímos na fórmula do comprimento de arco para obter o integrando:
1 + l(y'(x)r)^2 = 1 + 116x^4
Logo
L = integral0^3 raiz1 + 116x^4;dx

Passo 4

Observamos que a integral é imprópria em x=0. Para verificar a convergência, examinamos o comportamento de raiz1 + tfrac116x^4 quando xto0^+. Nesse limite,
raiz1 + 116x^4 sim raiz116x^4 = 14x^2

Passo 5

Se aproximarmos a integral por
integral0^varepsilon 14x^2;dx = 14integral0^varepsilon x^-2;dx = 14l(-x^-1r)|0^varepsilon = 14l(-tfrac1varepsilon + limxto0^+tfrac1xr),
vemos que ela diverge, pois limxto0^+1/x = +infty.

Passo 6

Como a parte próxima a x=0 já faz a integral divergir, concluímos que o comprimento de arco é infinito.

Resposta

O comprimento da curva é infinito.

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