Exercício 7: Considere o escoamento bidimensional
v(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
Calcule rot
v
e interprete. (Resp.:
v
é irrotacional (pesquise!). Vide Guidorizzi, vol 3.)

Passo 1

O enunciado dá um escoamento bidimensional
vec v(x,y) = -yx^2+y^2,vec i + xx^2+y^2,vec j
e pede para calcular o rotor de vec v e interpretá-lo. Vamos usar a definição de rotor em 2D, que resulta em uma componente única na direção vec k:
omegaz = partial vpartial x - partial upartial y,
onde u(x,y) = -yx^2+y^2 e v(x,y) = xx^2+y^2.

Passo 2

Calcular partial vpartial x. Como
v(x,y) = x,(x^2+y^2)^-1,
temos
partial vpartial x = (x^2+y^2)^-1 + xl(-1r)(x^2+y^2)^-2cdot 2x = 1(x^2+y^2) - 2x^2(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Calcular partial upartial y. Como
u(x,y) = -,y,(x^2+y^2)^-1,
obtém-se
partial upartial y = -,(x^2+y^2)^-1 - yl(-1r)(x^2+y^2)^-2cdot 2y = -1(x^2+y^2) + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -,(x^2+y^2) + 2y^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Substituindo na fórmula do rotor:
omegaz = partial vpartial x - partial upartial y = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 - y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 = 0

Passo 5

Concluímos que nabla times vec v = vec 0 em todo o plano exceto na origem (onde o campo é singular). Isso significa que o escoamento é irrotacional.

Resposta

nabla times vec v = vec 0, logo vec v é irrotacional.

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