Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
e^x+y^2 d x+2 y e^x+y^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem e^x+y^2,dx + 2y,e^x+y^2,dy = 0. Isso entra na matéria de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro a gente checa se a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata. Aqui M=e^x+y^2 e N=2y,e^x+y^2. Calculamos
partial Mpartial y=2y,e^x+y^2, partial Npartial x=2y,e^x+y^2

Passo 3

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação já é exata e, portanto, o fator integrante é trivial mu(x,y)=1.

Passo 4

Agora buscamos uma função potencial Φ(x,y) tal que
partial Φpartial x=M=e^x+y^2

Passo 5

Integramos em relação a x:
Φ(x,y)=integral e^x+y^2,dx = e^x+y^2+h(y)

Passo 6

Em seguida, exigimos que
partial Φpartial y=2y,e^x+y^2+h'(y)=N=2y,e^x+y^2, o que implica h'(y)=0 e, portanto, h(y)=C1 constante.

Passo 7

A solução geral fica dada por
Φ(x,y)=e^x+y^2=C, onde C é a constante de integração.

Resposta

e{x+y2}=C

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