Determine o comprimento das curvas dadas abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
para
.
Pede-se determinar o comprimento da curva entre e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pede-se determinar o comprimento da curva entre
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função posição
com as três coordenadas explicitadas. - Intervalo de parametrização:
. - Objetivo: calcular o comprimento (arco) da curva no intervalo dado.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (é a definição de comprimento de curva em
). Se
é diferenciável, então o comprimento
é
Aqui
é a derivada componente a componente e
é a norma euclidiana em
, ou seja, se
então
Explicação rápida e intuitiva: a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva é
; somando (integrando) essa velocidade ao longo do tempo obtemos a distância percorrida.
Passo 3
Vamos calcular
componente a componente:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Agora a norma
(passo a passo):
Calcule cada termo:
-
. -
. -
.
Somando,
Passo 5
Então o comprimento
é a integral
Comentário pedagógico: essa integral é um caso típico em que a função sob a raiz é um polinômio em
de grau 2 (ou seja, um quartico em
). Em geral a primitiva de
não se expressa em funções elementares simples; aparece-se integrais elípticas. Portanto, em prova costuma-se:
- aceitar a expressão integral como resposta exata, ou
- pedir aproximação numérica e então usar uma regra numérica (trapézio, Simpson, etc.).
Aqui vou mostrar como obter uma aproximação numérica confiável com a Regra de Simpson (explicando passo a passo), para que na prova você saiba como proceder se for pedido valor numérico.
Passo 6
Aproximação numérica pelo método de Simpson (mostro duas grades para ver a convergência; no exame pode usar a mais rápida se pedir só duas casas):
Usarei primeiro subintervalos (passo
) e depois
(passo
) para refinar.
Usarei primeiro
Definir
.
Para
(pontos
) os valores são aproximadamente:
Regra de Simpson:
com
. Substituindo e calculando obtém-se
Para melhorar, uso
(
), pontos
. Valores aproximados usados:
Aplicando Simpson com esses valores (fórmula com
) obtém-se a aproximação refinada
Observação: as duas aproximações estão muito próximas, o que indica que o valor convergiu bem. A aproximação com
é mais confiável; com mais subintervalos o valor se estabiliza ainda mais, mas para fins práticos
já tem boa precisão.
Passo 7
Interpretação final e dica de prova:
- Resposta exata (forma fechada, para entregar se aceitarem a integral):
. - Se pedirem valor numérico, usei a Regra de Simpson e obtive
. Na prova, explique que a primitiva não é elementar e apresente a integral; se pedirem aproximação, faça uma regra numérica com poucos subintervalos e justifique a precisão.