Determine o comprimento das curvas dadas abaixo.
\alpha(t)=\left(2 t, t^{2}-1,3 t^{3}\right), \quad 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\left(2 t,\; t^{2}-1,\; 3 t^{3}\right) para 0 \le t \le 1.
Pede-se determinar o comprimento da curva entre t=0 e t=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função posição \alpha(t) com as três coordenadas explicitadas.
  • Intervalo de parametrização: [0,1].
  • Objetivo: calcular o comprimento (arco) da curva no intervalo dado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (é a definição de comprimento de curva em \mathbb{R}^3). Se \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é diferenciável, então o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,dt.
Aqui \alpha'(t) é a derivada componente a componente e \|\alpha'(t)\| é a norma euclidiana em \mathbb{R}^3, ou seja, se \alpha'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Explicação rápida e intuitiva: a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva é \|\alpha'(t)\|; somando (integrando) essa velocidade ao longo do tempo obtemos a distância percorrida.

Passo 3

Vamos calcular \alpha'(t) componente a componente:
  • Derivada de 2t é 2.
  • Derivada de t^{2}-1 é 2t.
  • Derivada de 3t^{3} é 9t^{2}.
Portanto
\alpha'(t)=\bigl(2,\;2t,\;9t^{2}\bigr).

Passo 4

Agora a norma \|\alpha'(t)\| (passo a passo):
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+(9t^{2})^{2}}.
Calcule cada termo:
  • 2^{2}=4.
  • (2t)^{2}=4t^{2}.
  • (9t^{2})^{2}=81t^{4}.
Somando,
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{4+4t^{2}+81t^{4}}.

Passo 5

Então o comprimento L é a integral
L=\int_{0}^{1}\sqrt{4+4t^{2}+81t^{4}}\;dt.
Comentário pedagógico: essa integral é um caso típico em que a função sob a raiz é um polinômio em t^{2} de grau 2 (ou seja, um quartico em t). Em geral a primitiva de \sqrt{a t^{4}+b t^{2}+c} não se expressa em funções elementares simples; aparece-se integrais elípticas. Portanto, em prova costuma-se:
  • aceitar a expressão integral como resposta exata, ou
  • pedir aproximação numérica e então usar uma regra numérica (trapézio, Simpson, etc.).
Aqui vou mostrar como obter uma aproximação numérica confiável com a Regra de Simpson (explicando passo a passo), para que na prova você saiba como proceder se for pedido valor numérico.

Passo 6

Aproximação numérica pelo método de Simpson (mostro duas grades para ver a convergência; no exame pode usar a mais rápida se pedir só duas casas):
Usarei primeiro n=4 subintervalos (passo h=0,25) e depois n=8 (passo h=0,125) para refinar.
Definir f(t)=\sqrt{4+4t^{2}+81t^{4}}.
Para n=4 (pontos t=0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1) os valores são aproximadamente:
\begin{array}{l} f(0)=2{,}000000,\\\ f(0{,}25)\approx 2{,}1366,\\\ f(0{,}5)\approx 3{,}1720,\\\ f(0{,}75)\approx 5{,}6458,\\\ f(1)=\sqrt{89}\approx 9{,}433981. \end{array}
Regra de Simpson:
L\approx \frac{h}{3}\bigl(f(0)+4f(0{,}25)+2f(0{,}5)+4f(0{,}75)+f(1)\bigr),
com h=0{,}25. Substituindo e calculando obtém-se
L\approx 4{,}07563\quad(\text{aprox., com }n=4).
Para melhorar, uso n=8 ( h=0{,}125), pontos t=0,0{,}125,0{,}25,\dots,1. Valores aproximados usados:
\begin{array}{l} f(0)=2{,}000000,\\\ f(0{,}125)\approx 2{,}02050,\\\ f(0{,}25)\approx 2{,}13660,\\\ f(0{,}375)\approx 2{,}48282,\\\ f(0{,}5)\approx 3{,}17200,\\\ f(0{,}625)\approx 4{,}23490,\\\ f(0{,}75)\approx 5{,}64580,\\\ f(0{,}875)\approx 7{,}38490,\\\ f(1)\approx 9{,}433981. \end{array}
Aplicando Simpson com esses valores (fórmula com h=0{,}125) obtém-se a aproximação refinada
L\approx 4{,}07647.
Observação: as duas aproximações estão muito próximas, o que indica que o valor convergiu bem. A aproximação com n=8 é mais confiável; com mais subintervalos o valor se estabiliza ainda mais, mas para fins práticos L\approx 4{,}07647 já tem boa precisão.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova:
  • Resposta exata (forma fechada, para entregar se aceitarem a integral): \displaystyle L=\int_{0}^{1}\sqrt{4+4t^{2}+81t^{4}}\;dt.
  • Se pedirem valor numérico, usei a Regra de Simpson e obtive L\approx 4{,}07647. Na prova, explique que a primitiva não é elementar e apresente a integral; se pedirem aproximação, faça uma regra numérica com poucos subintervalos e justifique a precisão.

Resposta

\displaystyle L=\int_{0}^{1}\sqrt{4+4t^{2}+81t^{4}}\;dt\approx 4{,}07647

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