Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série infinita
diverge, ou seja, que seus somatórios parciais crescem sem limite. O conteúdo é teste de divergência de séries e vamos precisar usar racionalização para obter uma forma telescópica.
Passo 2
Observe que podemos racionalizar o termo geral:
Passo 3
Assim, o somatório parcial até
fica
Passo 4
Note que essa soma é telescópica: quase todos os termos se cancelam, restando
Passo 5
Como
quando
, temos
. Portanto, a série diverge para
.
Resposta
A série diverge, pois seus somatórios parciais são
, que cresce sem limite quando
.