Prove que:
sumn=1^+infty 1raizn+1+raizn=+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita sumn=1^+infty 1raizn+1+raizn diverge, ou seja, que seus somatórios parciais crescem sem limite. O conteúdo é teste de divergência de séries e vamos precisar usar racionalização para obter uma forma telescópica.

Passo 2

Observe que podemos racionalizar o termo geral:
1raizn+1+raizn = raizn+1-raizn(raizn+1+raizn)(raizn+1-raizn) = raizn+1-raizn

Passo 3

Assim, o somatório parcial até N fica
SN = sumn=1^Nl(raizn+1-raiznr)

Passo 4

Note que essa soma é telescópica: quase todos os termos se cancelam, restando
SN = (raiz2-raiz1) + (raiz3-raiz2) + cdots + (raizN+1-raizN) = raizN+1-1

Passo 5

Como raizN+1to +infty quando Nto +infty, temos SNto +infty. Portanto, a série diverge para +infty.

Resposta

A série diverge, pois seus somatórios parciais são SN=raizN+1-1, que cresce sem limite quando Nto+infty.

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