Prove que:
Passo 1
A questão nos pede para mostrar que a série alternada
converge para 1. O conteúdo envolvido é: séries infinitas (alternadas), decomposição em frações parciais, reindexação e estudo de soma parcial.
Passo 2
Vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos
e
tais que
Comparando coeficientes em
:
e termo independente:
Logo
e
, e
Passo 3
Substituindo na série original, obtemos
e podemos separar em duas séries:
Passo 4
Reindexamos a segunda soma. Seja
. Quando
,
, e quando
,
. Além disso,
Assim,
Passo 5
Para achar a soma total, analisamos a soma parcial até
:
Escrevendo em duas partes e reindexando a segunda, obtemos cancelamentos telescópicos e ficamos com
Passo 6
Por fim, como
temos
e, portanto, a série converge para 1.
Resposta
1