Prove que:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 2 n+1n(n+1)=1

Passo 1

A questão nos pede para mostrar que a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+12n+1n(n+1) converge para 1. O conteúdo envolvido é: séries infinitas (alternadas), decomposição em frações parciais, reindexação e estudo de soma parcial.

Passo 2

Vamos decompor a fração dfrac2n+1n(n+1) em frações parciais. Queremos A e B tais que
2n+1n(n+1) = An + Bn+1 = A(n+1) + Bnn(n+1)
Comparando coeficientes em n:
A + B = 2,
e termo independente:
A = 1
Logo A=1 e B=1, e
2n+1n(n+1) = 1n + 1n+1

Passo 3

Substituindo na série original, obtemos
sumn=1^infty(-1)^n+12n+1n(n+1) = sumn=1^infty(-1)^n+1l(1n + 1n+1r)
e podemos separar em duas séries:
sumn=1^infty(-1)^n+11n e sumn=1^infty(-1)^n+11n+1

Passo 4

Reindexamos a segunda soma. Seja k = n+1. Quando n=1, k=2, e quando ntoinfty, ktoinfty. Além disso,
(-1)^n+1 = (-1)^k
Assim,
sumn=1^infty(-1)^n+11n+1 = sumk=2^infty(-1)^k1k

Passo 5

Para achar a soma total, analisamos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N (-1)^n+1l(1n + 1n+1r)
Escrevendo em duas partes e reindexando a segunda, obtemos cancelamentos telescópicos e ficamos com
SN = 1 + (-1)^N+1N+1

Passo 6

Por fim, como
limNtoinfty (-1)^N+1N+1 = 0,
temos
limNtoinfty SN = 1
e, portanto, a série converge para 1.

Resposta

1

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