Determine o comprimento exato da curva:
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
.
A pergunta é: determinar o comprimento exato dessa curva no intervalo dado.
A pergunta é: determinar o comprimento exato dessa curva no intervalo dado.
Informações relevantes que eu tenho:
- A variável independente para parametrizar a curva é
(a curva está escrita como em função de ). - O intervalo para
é . - Preciso calcular o comprimento de arco entre
e .
Passo 2
Fórmula que usamos para comprimento de curva quando a curva está dada por
em função de
.
Se temos uma curva dada por
e
varia de
a
, um pequeno pedaço de comprimento
é obtido por Pitágoras:
Portanto o comprimento total é
Aqui
é a variação pequena em
,
é a derivada de
em relação a
. Vou aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Calcular
para a função dada. Primeiro escrevo
de forma mais conveniente:
Agora derivo termo a termo:
Simplificando fatores:
Passo 4
Calcular
e simplificar.
Primeiro o quadrado:
Somando 1:
Repare que
pois
com
. Então
Como para
a expressão
é positiva, a raiz quadrada fica simples:
Passo 5
Substituir na integral do comprimento e integrar.
A fórmula dá
Separando termos e colocando fator
fora:
Agora as primitivas (explico rápido):
- Para
a primitiva é porque derivando volta . - Para
a primitiva é porque derivando dá .
Então a primitiva combinada é
Passo 6
Avaliar a primitiva entre
e
.
Calculo em
:
Calculo em
:
Subtraindo: