Determine o comprimento exato da curva:
x=\frac{1}{3} \sqrt{y}(y-3), \quad 1 \leq y \leq 9.

Passo 1

O enunciado dá a curva
x=\frac{1}{3}\sqrt{y}\,(y-3),
no intervalo \,1\le y\le 9.
A pergunta é: determinar o comprimento exato dessa curva no intervalo dado.
Informações relevantes que eu tenho:
  • A variável independente para parametrizar a curva é y (a curva está escrita como x em função de y).
  • O intervalo para y é [1,9].
  • Preciso calcular o comprimento de arco entre y=1 e y=9.

Passo 2

Fórmula que usamos para comprimento de curva quando a curva está dada por x em função de y.
Se temos uma curva dada por x=g(y) e y varia de a a b, um pequeno pedaço de comprimento ds é obtido por Pitágoras:
ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}dy^{2}+dy^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Portanto o comprimento total é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Aqui dy é a variação pequena em y, dx/dy é a derivada de x em relação a y. Vou aplicar essa fórmula com a=1 e b=9.

Passo 3

Calcular \dfrac{dx}{dy} para a função dada. Primeiro escrevo x de forma mais conveniente:
x=\frac{1}{3}\sqrt{y}\,(y-3)=\frac{1}{3}\bigl(y^{3/2}-3y^{1/2}\bigr).
Agora derivo termo a termo:
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3}\left(\frac{d}{dy}y^{3/2}-3\frac{d}{dy}y^{1/2}\right) =\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}y^{1/2}-3\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}\right).
Simplificando fatores:
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(y^{1/2}-y^{-1/2}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right).

Passo 4

Calcular \;1+\left(\dfrac{dx}{dy}\right)^{2}\; e simplificar.
Primeiro o quadrado:
\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^{2} =\frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{y}-2\right).
Somando 1:
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=1+\frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{y}-2\right) =\frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{y}+2\right).
Repare que
y+\frac{1}{y}+2=\left(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^{2},
pois (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab com a=\sqrt{y},\,b=1/\sqrt{y}. Então
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^{2}.
Como para y\in[1,9] a expressão \sqrt{y}+\dfrac{1}{\sqrt{y}} é positiva, a raiz quadrada fica simples:
\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right).

Passo 5

Substituir na integral do comprimento e integrar.
A fórmula dá
L=\int_{1}^{9}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy =\int_{1}^{9}\frac{1}{2}\left(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)dy.
Separando termos e colocando fator 1/2 fora:
L=\frac{1}{2}\left(\int_{1}^{9}y^{1/2}\,dy+\int_{1}^{9}y^{-1/2}\,dy\right).
Agora as primitivas (explico rápido):
  • Para y^{1/2} a primitiva é \dfrac{2}{3}y^{3/2} porque derivando \dfrac{2}{3}y^{3/2} volta y^{1/2}.
  • Para y^{-1/2} a primitiva é 2y^{1/2} porque derivando dá y^{-1/2}.
Então a primitiva combinada é
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}y^{3/2}+2y^{1/2}\right)=\frac{1}{3}y^{3/2}+y^{1/2}.

Passo 6

Avaliar a primitiva entre y=1 e y=9.
Calculo em y=9:
\frac{1}{3}(9)^{3/2}+(9)^{1/2}=\frac{1}{3}\cdot 27+3=9+3=12.
Calculo em y=1:
\frac{1}{3}(1)^{3/2}+(1)^{1/2}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}.
Subtraindo:
L=12-\frac{4}{3}=\frac{36}{3}-\frac{4}{3}=\frac{32}{3}.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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