Determine o comprimento exato da curva:
y=\frac{2}{3}\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}, \quad 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado fornece a curva
y=\frac{2}{3}\left(1+x^{2}\right)^{3/2}
no intervalo 0\le x\le 1 e pede o comprimento exato da curva nesse intervalo.
Informações relevantes: a expressão da função y(x) e os limites de integração x=0 e x=1. A tarefa é calcular o comprimento do arco entre esses dois pontos da curva.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): o comprimento L de uma curva dada por y=f(x), diferenciável em um intervalo [a,b], é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui f'(x)=\dfrac{dy}{dx} é a derivada da função. A ideia é somar, via integral, pequenos comprimentos elementares ds=\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}\,dx ao longo do intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}. Escrevendo y(x)=\dfrac{2}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3/2}, usamos a regra da cadeia. Se g(x)=(1+x^{2})^{3/2} então
g'(x)=\frac{3}{2}(1+x^{2})^{1/2}\cdot 2x = 3x(1+x^{2})^{1/2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{3} que vem em y, obtemos
y'=\frac{2}{3}\,g'(x)=\frac{2}{3}\cdot 3x(1+x^{2})^{1/2}=2x(1+x^{2})^{1/2}.
Expliquei: a regra da cadeia diz que a derivada de (u(x))^{n} é n\,(u(x))^{n-1}u'(x); aqui u(x)=1+x^{2} e n=3/2.

Passo 4

Calculamos \bigl(y'\bigr)^{2}:
\bigl(y'\bigr)^{2}=\bigl(2x(1+x^{2})^{1/2}\bigr)^{2}=4x^{2}(1+x^{2})=4x^{2}+4x^{4}.

Passo 5

Agora formamos 1+\bigl(y'\bigr)^{2} e simplificamos:
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=1+4x^{2}+4x^{4}=(1+2x^{2})^{2}.
Observação didática: reconhecer um quadrado perfeito aqui é a chave — em vez de ficar com uma raiz complicada, temos uma expressão que é quadrado de 1+2x^{2}.

Passo 6

Aplicando a fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{(1+2x^{2})^{2}}\,dx.
Como 1+2x^{2}\ge 1>0 para todo x no intervalo dado, a raiz quadrada da expressão ao quadrado é simplesmente 1+2x^{2}. Logo
L=\int_{0}^{1}\bigl(1+2x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 7

Integramos termo a termo. A primitiva de 1 é x. A primitiva de 2x^{2} é 2\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{2}{3}x^{3}. Assim uma primitiva do integrando é
F(x)=x+\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 8

Avaliamos a integral definida de 0 a 1:
L=F(1)-F(0)=\left(1+\frac{2}{3}\cdot 1^{3}\right)-\left(0+\frac{2}{3}\cdot 0^{3}\right)=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Pequeno incentivo: deu certinho porque reconhecemos o quadrado perfeito e evitamos raiz complicada — por isso vale sempre tentar simplificar antes de integrar.

Resposta

\dfrac{5}{3}

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