Determine o comprimento exato da curva:
.
Passo 1
O enunciado fornece a curva
no intervalo
e pede o comprimento exato da curva nesse intervalo.
Informações relevantes: a expressão da função e os limites de integração
e
. A tarefa é calcular o comprimento do arco entre esses dois pontos da curva.
Informações relevantes: a expressão da função
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): o comprimento
de uma curva dada por
, diferenciável em um intervalo
, é
Aqui
é a derivada da função. A ideia é somar, via integral, pequenos comprimentos elementares
ao longo do intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
. Escrevendo
, usamos a regra da cadeia. Se
então
Multiplicando pelo fator
que vem em
, obtemos
Expliquei: a regra da cadeia diz que a derivada de
é
; aqui
e
.
Passo 4
Calculamos
:
Passo 5
Agora formamos
e simplificamos:
Observação didática: reconhecer um quadrado perfeito aqui é a chave — em vez de ficar com uma raiz complicada, temos uma expressão que é quadrado de
.
Passo 6
Aplicando a fórmula do comprimento:
Como
para todo
no intervalo dado, a raiz quadrada da expressão ao quadrado é simplesmente
. Logo
Passo 7
Integramos termo a termo. A primitiva de
é
. A primitiva de
é
. Assim uma primitiva do integrando é
Passo 8
Avaliamos a integral definida de
a
:
Pequeno incentivo: deu certinho porque reconhecemos o quadrado perfeito e evitamos raiz complicada — por isso vale sempre tentar simplificar antes de integrar.