Determine o comprimento exato da curva.
x=e^t-t, y=4 e^t / 2, 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=e^t-t, y=4e^t/2 para 0<= t<=2
e pede o comprimento dessa curva.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de curva em coordenadas paramétricas:
L=integralt0^t1raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calcular as derivadas de x e y em relação a t.
Para x=e^t-t temos
x'(t)=ddtl(e^t-tr)=e^t-1
Para y=4e^t/2 usamos a regra da cadeia:
y'(t)=4cdot12,e^t/2=2e^t/2

Passo 3

Montar o integrando e simplificar o radical:
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =(e^t-1)^2+(2e^t/2)^2 =e^2t-2e^t+1+4e^t =e^2t+2e^t+1 =(e^t+1)^2
Logo
raiz(x')^2+(y')^2=raiz(e^t+1)^2=e^t+1,
já que e^t+1>0 para todo t.

Passo 4

Substituir na integral de comprimento:
L=integral0^2(e^t+1),dt

Passo 5

Calcular a integral:
integral(e^t+1),dt=e^t+t+C,
então
L=l[e^t+tr]0^2 =(e^2+2)-(e^0+0) =e^2+2-1 =e^2+1

Resposta

e^2 + 1

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