Resolva fazendo a substituição v=y^prime :
(a) y^prime prime+(y^prime)^2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + l(y'r)^2 = 0
usando a substituição v = y'. O conteúdo envolve redução de ordem transformando a ODE de segunda ordem numa de primeira por meio de v, e depois resolução por separação de variáveis.

Passo 2

Fazendo v = y', temos y'' = dvdx. Substituindo na equação, obtemos a ODE de primeira ordem
dvdx + v^2 = 0

Passo 3

Reescrevendo em forma separável,
dvdx = -,v^2 Longrightarrow dvv^2 = -,dx
Agora integramos ambos os lados:

Passo 4

integral dvv^2 = -integral dx Longrightarrow -1v = -x + C1 Longrightarrow 1v = x + C1 Longrightarrow v = 1x + C1

Passo 5

Voltando à variável y, temos y' = v = 1x + C1. Integramos em x:
y(x) = integral 1x + C1,dx = lnl|x + C1r| + C2

Resposta

y(x) = lnl|x + C1r| + C2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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