Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta 3 vezes. Para cada lançamento, se sair cara você ganha 1 ponto, caso saia coroa, você perde um ponto. Determine a função probabilidade da média e da variância dos pontos ganhos (distribuição amostra).
R. \begin{tabular}{c|cccc}
\bar{X} & -1 & \frac{-1}{3} & \frac{1}{3} & 1 \
\hline p_{i} & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8}
,(~)
S^{2} & 0 & \frac{4}{3} \
\hline p_{i} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4}
\end{tabular}

Passo 1

O enunciado dá: jogamos uma moeda honesta 3 vezes. Para cada lançamento vale +1 se sair cara e -1 se sair coroa. O que se pede:
  1. A função probabilidade (distribuição) da média amostral \bar{X} dos pontos ganhos.
  2. A função probabilidade (distribuição) da variância amostral S^{2} dos pontos ganhos.
Informações relevantes que já temos: o espaço amostral consiste em todas as sequências de 3 lançamentos (há 2^{3}=8 sequências igualmente prováveis, cada uma com probabilidade \tfrac{1}{8}). Em cada sequência os valores observados são +1 (cara) ou -1 (coroa). O tamanho da amostra é n=3.

Passo 2

Definição e fórmula da média amostral. Vou explicar direitinho:
A média amostral \bar{X} de n observações X_{1},X_{2},\dots,X_{n} é dada por
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Aqui X_{i} é o pontuação no i-ésimo lançamento (ou seja X_{i}=+1 para cara e X_{i}=-1 para coroa), e n=3. Então para qualquer sequência somamos os três X_{i} e dividimos por 3.
Agora vamos enumerar os possíveis números de caras k em 3 lançamentos e calcular \bar{X} em cada caso:
  • Se k=0 (todas coroas): os valores são -1,-1,-1. Soma =-3. Então
\bar{X}=\frac{-3}{3}=-1.
  • Se k=1 (uma cara e duas coroas): os valores somam (+1)+(-1)+(-1)=-1. Então
\bar{X}=\frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Se k=2 (duas caras e uma coroa): soma (+1)+(+1)+(-1)=+1. Então
\bar{X}=\frac{1}{3}=\tfrac{1}{3}.
  • Se k=3 (todas caras): soma =3. Então
\bar{X}=\frac{3}{3}=1.

Passo 3

Agora as probabilidades de cada caso k. Como a moeda é honesta e as sequências são igualmente prováveis, a probabilidade de exatamente k caras em 3 lançamentos é \binom{3}{k}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{\binom{3}{k}}{8}.
  • Para k=0: \binom{3}{0}=1, probabilidade \dfrac{1}{8}. Isso corresponde a \bar{X}=-1.
  • Para k=1: \binom{3}{1}=3, probabilidade \dfrac{3}{8}. Isso corresponde a \bar{X}=-\tfrac{1}{3}.
  • Para k=2: \binom{3}{2}=3, probabilidade \dfrac{3}{8}. Isso corresponde a \bar{X}=\tfrac{1}{3}.
  • Para k=3: \binom{3}{3}=1, probabilidade \dfrac{1}{8}. Isso corresponde a \bar{X}=1.
Portanto já temos a distribuição de \bar{X} (vou colocar a forma final na seção de resposta).

Passo 4

Definição e fórmula da variância amostral S^{2}. Vou explicar bem devagar:
A variância amostral (usando o denominador n-1, que é o caso padrão para S^{2} como estimador não viciado da variância) é
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\bar{X}\bigr)^{2}.
Aqui X_{i} são as observações, \bar{X} é a média amostral já definida, n é o número de observações. No nosso problema n=3, então n-1=2. Isso significa que para cada sequência calculamos as diferenças X_{i}-\bar{X}, elevamos ao quadrado, somamos e dividimos por 2.
Agora vamos calcular S^{2} para os tipos possíveis de amostra:
  • Caso todas as observações iguais (todas caras ou todas coroas): todos os X_{i} são iguais a \bar{X}. Então cada X_{i}-\bar{X}=0 e consequentemente
S^{2}=0.
Isso acontece para k=0 (todas coroas) e para k=3 (todas caras).
  • Caso haja mistura com duas observações iguais e uma diferente (isso é k=1 ou k=2): por exemplo, para k=2 tomemos os valores 1,1,-1. Já calculamos \bar{X}=\tfrac{1}{3}. Agora as diferenças são:
1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},\quad 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},\quad -1-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{4}{3}.
Elevando ao quadrado:
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},\quad \left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},\quad \left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}=\tfrac{16}{9}.
Somando esses quadrados:
\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{16}{9}=\tfrac{24}{9}=\tfrac{8}{3}.
Dividindo por n-1=2 obtemos
S^{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}.
O mesmo valor vale para k=1 (uma cara e duas coroas), porque a situação é simétrica: duas observações iguais e uma distinta sempre dão as mesmas diferenças em valor absoluto, portanto a mesma soma dos quadrados e o mesmo S^{2}. Assim para qualquer amostra com k=1 ou k=2 temos S^{2}=\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Agora as probabilidades para S^{2}:
  • S^{2}=0 ocorre quando k=0 ou k=3. Probabilidade total \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}.
  • S^{2}=\tfrac{4}{3} ocorre quando k=1 ou k=2. Probabilidade total \dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{4}.

Resposta

\bar{X}=-1 com probabilidade \dfrac{1}{8}
\bar{X}=-\tfrac{1}{3} com probabilidade \dfrac{3}{8}
\bar{X}=\tfrac{1}{3} com probabilidade \dfrac{3}{8}
\bar{X}=1 com probabilidade \dfrac{1}{8}
S^{2}=0 com probabilidade \dfrac{1}{4}
S^{2}=\tfrac{4}{3} com probabilidade \dfrac{3}{4}

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