Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta 3 vezes. Para cada lançamento, se sair cara você ganha 1 ponto, caso saia coroa, você perde um ponto. Determine a função probabilidade da média e da variância dos pontos ganhos (distribuição amostra).
R. \begin{tabular}{c|cccc}
& -1 &
&
& 1 \
\hline
&
&
&
&
,(~)
& 0 &
\
\hline
&
&
\end{tabular}
\hline
\hline
\end{tabular}
Passo 1
O enunciado dá: jogamos uma moeda honesta
vezes. Para cada lançamento vale
se sair cara e
se sair coroa. O que se pede:
- A função probabilidade (distribuição) da média amostral
dos pontos ganhos. - A função probabilidade (distribuição) da variância amostral
dos pontos ganhos.
Informações relevantes que já temos: o espaço amostral consiste em todas as sequências de
lançamentos (há
sequências igualmente prováveis, cada uma com probabilidade
). Em cada sequência os valores observados são
(cara) ou
(coroa). O tamanho da amostra é
.
Passo 2
Definição e fórmula da média amostral. Vou explicar direitinho:
A média amostral de
observações
é dada por
A média amostral
Aqui
é o pontuação no
-ésimo lançamento (ou seja
para cara e
para coroa), e
. Então para qualquer sequência somamos os três
e dividimos por
.
Agora vamos enumerar os possíveis números de caras
em
lançamentos e calcular
em cada caso:
- Se
(todas coroas): os valores são . Soma . Então
- Se
(uma cara e duas coroas): os valores somam . Então
- Se
(duas caras e uma coroa): soma . Então
- Se
(todas caras): soma . Então
Passo 3
Agora as probabilidades de cada caso
. Como a moeda é honesta e as sequências são igualmente prováveis, a probabilidade de exatamente
caras em
lançamentos é
.
- Para
: , probabilidade . Isso corresponde a . - Para
: , probabilidade . Isso corresponde a . - Para
: , probabilidade . Isso corresponde a . - Para
: , probabilidade . Isso corresponde a .
Portanto já temos a distribuição de
(vou colocar a forma final na seção de resposta).
Passo 4
Definição e fórmula da variância amostral
. Vou explicar bem devagar:
A variância amostral (usando o denominador , que é o caso padrão para
como estimador não viciado da variância) é
A variância amostral (usando o denominador
Aqui
são as observações,
é a média amostral já definida,
é o número de observações. No nosso problema
, então
. Isso significa que para cada sequência calculamos as diferenças
, elevamos ao quadrado, somamos e dividimos por
.
Agora vamos calcular
para os tipos possíveis de amostra:
- Caso todas as observações iguais (todas caras ou todas coroas): todos os
são iguais a . Então cada e consequentemente
Isso acontece para
(todas coroas) e para
(todas caras).
- Caso haja mistura com duas observações iguais e uma diferente (isso é
ou ): por exemplo, para tomemos os valores . Já calculamos . Agora as diferenças são:
Elevando ao quadrado:
Somando esses quadrados:
Dividindo por
obtemos
O mesmo valor vale para
(uma cara e duas coroas), porque a situação é simétrica: duas observações iguais e uma distinta sempre dão as mesmas diferenças em valor absoluto, portanto a mesma soma dos quadrados e o mesmo
. Assim para qualquer amostra com
ou
temos
.
Passo 5
Agora as probabilidades para
:
-
ocorre quando ou . Probabilidade total . -
ocorre quando ou . Probabilidade total .