2 Determine o comprimento de onda Compton de um elétron, bem como o comprimento de onda de um elétron com energia de E=10 eV. (Essa é a ordem de grandeza da energia de Fermi em alguns metais). Qual é a velocidade de um elétron com essa energia? Esse valor corresponde a qual percentual em relação à velocidade da luz?

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular três coisas: o comprimento de onda de Compton de um elétron, o comprimento de onda de de Broglie de um elétron com energia E=10 eV, depois achar a velocidade desse elétron e, por fim, ver que percentual isso representa em relação à velocidade da luz. O conteúdo envolve física quântica (comprimento de onda de Compton e de Broglie) e cinemática não relativística.

Passo 2

O comprimento de onda de Compton é definido por
lambdaC = hm,c
onde h é a constante de Planck, m a massa do elétron e c a velocidade da luz. Substituindo:
lambdaC = 6,626times10^-34,J!cdot s9,109times10^-31,kgtimes3,00times10^8,m/s approx 2,426times10^-12,m

Passo 3

Para o comprimento de onda de de Broglie usamos
lambda = hp
e como o elétron é não relativístico em 10 eV, podemos usar p=raiz2mE. Primeiro converto a energia para joules: E = 10,eV = 10times1,602times10^-19,J = 1,602times10^-18,J.

Passo 4

Substituindo na expressão de lambda:
lambda = 6,626times10^-34raiz2times9,109times10^-31times1,602times10^-18 approx 3,88times10^-10,m

Passo 5

A velocidade do elétron a 10 eV (cinemática não relativística) vem de
v = raiz2Em = raiz2times1,602times10^-189,109times10^-31 approx 1,88times10^6,m/s

Passo 6

Para ver que percentual isso é de c, fazemos
vctimes100% = 1,88times10^63,00times10^8times100% approx 0,63%

Resposta

Comprimento de onda de Compton: 2,426×10⁻¹² m. Comprimento de onda de de Broglie a 10 eV: 3,88×10⁻¹⁰ m. Velocidade: 1,88×10⁶ m/s, que corresponde a ≃0,63% da velocidade da luz.

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