3 Os níveis de energia do átomo de Hidrogênio, o mais abundante dos elementos do universo, são dados aproximadamente por:
En=-13.6n^2 eV, n=1,2,3 ldots
onde n é o número quântico principal. O nível n=1 corresponde ao estado fudamental 1 s^1, o nível n=2 corresponde ao primeiro estado excitado 2 s^2. O, átomo pode ser excitado por radiação eletromagnética pela absorção de fótons de energia hbar omega apropriada para a transição.
a) Encontre a frequência e o comprimento de onda do fóton associado à transição do estado fundamental para o primeiro estado excitado.
b) Encontre a energia de ionização do Hidrogênio. Em que faixa do espectro encontra-se a frequência do fóton mínimo de ionização?
c) Se um fóton de energia hbar omega maior do que a energia de ionização é absorvido, o elétron é arrancado do átomo e ainda ganha energia cinética. Determine a expressão para a velocidade do elétron ejetado.

Passo 1

A questão pede para calcular propriedades de fótons que fazem transições eletrônicas no átomo de Hidrogênio (conteúdo: níveis de energia, relação energia–frequência–comprimento de onda e energia cinética do elétron). Vamos usar: a expressão dos níveis En=-13.6/n^2 em eV, a relação E= h f=hbar,omega e lambda=c/f, e para © a conservação de energia cinética 12mev^2=hbaromega - Eion.

Passo 2

Começando pelo item (a), calculamos as energias de n=1 e n=2:
E1=-13.6,eV, E2=-13.62^2=-3.4,eV
A energia do fóton necessário para ir de n=1 a n=2 é
De

Passo 3

Ainda em (a), convertemos De para joules ( 1,eV=1.602times10^-19,J) e achamos a frequência:
De
f=De

Passo 4

Terminamos (a) com o comprimento de onda usando lambda=c/f:
lambda=3.00times10^82.47times10^15approx1.216times10^-7,m;(121.6,nm),
que fica na região ultravioleta.

Passo 5

No item (b), a energia de ionização é a que leva n=1 a E=0:
Eion=0-(-13.6)=13.6,eV
O fóton mínimo tem energia 13.6,eV, ou em joules 2.18times10^-18,J, logo a frequência mínima é
fmin=2.18times10^-186.626times10^-34approx3.29times10^15,Hz,
com (\lambda_{max}=c/f_{min}\approx9.12\times10^{-8},\mathrm{m};(91.2,\mathrm{nm}),] também ultravioleta.

Passo 6

No item ©, se o fóton tem energia hbaromega>Eion, sobra energia cinética para o elétron:
12mev^2=hbaromega - Eion
Isolando v, obtemos
v=raiz2l(hbaromega - Eionr)me
Aqui Eion=13.6,eV convertido em joules se quiser valor numérico para v.

Resposta

(a) Frequência fapprox2.47times10^15,Hz e comprimento de onda lambdaapprox1.216times10^-7,m (121.6 nm).\n(b) Energia de ionização Eion=13.6,eV, frequência mínima fminapprox3.29times10^15,Hz (ultravioleta), lambdamaxapprox9.12times10^-8,m.\n© Velocidade do elétron ejetado: v=raiz2l(hbaromega - 13.6,eVr)me

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