4 Poço de Potencial Infinito: a) Determinar o coeficiente An nas funções pares, para normalizar a função na forma
integral-a^a|psin(x)|^2 d x=1
b) Determine as Funções de Paridade Ímpar do problema do poço de potencial infinito
psi(x)=-psi(-x)
Demonstre que para as funções ímpares ^1 e A=0 na solução geral, ou seja:
B neq 0
encontre psi(x)=B sin (k x) para normalização da função e ainda mostre que:
Bn
onde En=E0 n^2, n=2,4,6,8 ldots .
c) Considere um poço de potencial infinito com dimensão 2 a=10 nm. Determine o valor de E0. Qual é a energia necessária para levar o sistema do estado fundamental ao primeiro estado excitado?
d) O princípio de incerteza diz que De= hbar / 2. Definindo-se
De
sendo px=-i hbar d / d x e o valor médio de um operador qualquer para o caso do potencial infinito calculado através da expressão
lang<=Arang<==integral-a^a d x psi^*(x) A psi(x)
determine De e o valor de para o estado fundamental do poço.

Passo 1

O problema é o poço de potencial infinito simétrico em (−a,a). Precisamos achar as soluções de simetria par e ímpar, normalizar as funções de onda, obter a quantização de energia (mostrando que para as ímpares os níveis são Eₙ=E₀n² com n=2,4,6…), calcular E₀ para 2a=10 nm e, por fim, no estado fundamental, avaliar ⟨x⟩, ⟨x²⟩, ⟨pₓ⟩, ⟨pₓ²⟩ e a incerteza Δx Δpₓ.

Passo 2

Para as funções pares escrevemos
ψn(x)=An,cos(knx)
e a condição de contorno em x=±a dá
cos(kna)=0,Rightarrow kna=(2n-1)pi2
Para normalizar usamos
1=integral-a^a|ψn(x)|^2dx=An^2integral-a^acos^2(knx)dx
Como integral-a^acos^2(knx)dx=a, vem
An=1raiza

Passo 3

Para as funções ímpares impomos ψ(−x)=−ψ(x), logo na solução geral o termo cos é nulo (A=0) e
ψ(x)=Bsin(kx)
Com ψ(±a)=0 segue
sin(ka)=0Rightarrow ka=mpi
Para normalizar
1=B^2integral-a^asin^2(kx)dx=B^2a
vem
Bn=1raiza

Passo 4

A energia é
E=hbar^2k^22m=hbar^2m^2pi^22ma^2
Definindo
E0=hbar^2pi^28ma^2
temos para m inteiro
E=4m^2E0
ou seja, se escrevemos n=2m, então
En=E0n^2, n=2,4,6,dots

Passo 5

Para 2a=10 nm temos a=5 nm. Calculando
E0=hbar^2pi^28m a^2approx6,03times10^-22 Japprox3,77 meV
O primeiro nível é E₁=E₀ e o seguinte (ímpar n=2) é E₂=4E₀. Assim a energia para ir do fundamental ao 1.º excitado é
ΔE=E2-E1=3E0approx1,81times10^-21 Japprox11,3 meV

Passo 6

No estado fundamental ψ₁(x)=\frac1{\sqrt{a}}\cos\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr). Pela paridade 〈x〉=0. Calcula-se
lang<= x^2rang<==integral-a^ax^2acos^2l(tfracpi x2ar)dx =a^2l(tfrac13-tfrac2pi^2r)
Como ψ real e par 〈pₓ〉=0 e usando 2mE=〈pₓ²〉 obtemos
lang<= pₓ^2rang<==hbar^2l(tfracpi2ar)^2
Logo
Δx= araiztfrac13-tfrac2pi^2, Δpₓ=hbarpi2a
e
Δx,Δpₓ=hbarpi2raiztfrac13-tfrac2pi^2approx0,568,hbar>hbar2

Resposta

Aₙ=1/√a para as soluções pares e Bₙ=1/√a para as ímpares. As energias das funções ímpares são Eₙ=E₀n² com n=2,4,6,…, onde E₀=ħ²π²/(8ma²). Para 2a=10 nm obtém-se E₀≈6,03×10⁻²² J≈3,77 meV e ΔE=E₂−E₁=3E₀≈1,81×10⁻²¹ J≈11,3 meV. No estado fundamental: ⟨x⟩=0, ⟨x²⟩=a²(1/3−2/π²), ⟨pₓ⟩=0, ⟨pₓ²⟩=ħ²π²/(4a²) e ΔxΔpₓ=(ħπ/2)√(1/3−2/π²)≈0,568ħ.

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