4 Poço de Potencial Infinito: a) Determinar o coeficiente
nas funções pares, para normalizar a função na forma
b) Determine as Funções de Paridade Ímpar do problema do poço de potencial infinito
Demonstre que para as funções ímpares
e
na solução geral, ou seja:
encontre
para normalização da função e ainda mostre que:
onde
.
c) Considere um poço de potencial infinito com dimensão
. Determine o valor de
. Qual é a energia necessária para levar o sistema do estado fundamental ao primeiro estado excitado?
d) O princípio de incerteza diz que
. Definindo-se
sendo
e o valor médio de um operador qualquer para o caso do potencial infinito calculado através da expressão
determine
e o valor de
para o estado fundamental do poço.
-
c) Considere um poço de potencial infinito com dimensão
d) O princípio de incerteza diz que
Passo 1
O problema é o poço de potencial infinito simétrico em (−a,a). Precisamos achar as soluções de simetria par e ímpar, normalizar as funções de onda, obter a quantização de energia (mostrando que para as ímpares os níveis são Eₙ=E₀n² com n=2,4,6…), calcular E₀ para 2a=10 nm e, por fim, no estado fundamental, avaliar ⟨x⟩, ⟨x²⟩, ⟨pₓ⟩, ⟨pₓ²⟩ e a incerteza Δx Δpₓ.
Passo 2
Para as funções pares escrevemos
e a condição de contorno em x=±a dá
Para normalizar usamos
Como
, vem
Passo 3
Para as funções ímpares impomos ψ(−x)=−ψ(x), logo na solução geral o termo cos é nulo (A=0) e
Com ψ(±a)=0 segue
Para normalizar
vem
Passo 4
A energia é
Definindo
temos para m inteiro
ou seja, se escrevemos n=2m, então
Passo 5
Para 2a=10 nm temos a=5 nm. Calculando
O primeiro nível é E₁=E₀ e o seguinte (ímpar n=2) é E₂=4E₀. Assim a energia para ir do fundamental ao 1.º excitado é
Passo 6
No estado fundamental ψ₁(x)=\frac1{\sqrt{a}}\cos\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr). Pela paridade 〈x〉=0. Calcula-se
Como ψ real e par 〈pₓ〉=0 e usando 2mE=〈pₓ²〉 obtemos
Logo
e
Resposta
Aₙ=1/√a para as soluções pares e Bₙ=1/√a para as ímpares. As energias das funções ímpares são Eₙ=E₀n² com n=2,4,6,…, onde E₀=ħ²π²/(8ma²). Para 2a=10 nm obtém-se E₀≈6,03×10⁻²² J≈3,77 meV e ΔE=E₂−E₁=3E₀≈1,81×10⁻²¹ J≈11,3 meV. No estado fundamental: ⟨x⟩=0, ⟨x²⟩=a²(1/3−2/π²), ⟨pₓ⟩=0, ⟨pₓ²⟩=ħ²π²/(4a²) e ΔxΔpₓ=(ħπ/2)√(1/3−2/π²)≈0,568ħ.