7 Para o gás de elétrons livres, cuja relação energia-momento pode ser escrita como
E(k)=hbar^2 k^22 m
determine a densidade de estados nos casos de uma, duas e três dimensões espaciais.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um gás de elétrons livres com relação energia-momento dada por E(k)=hbar^2k^22m. Queremos achar a densidade de estados g(E)=dNdE nos casos unidimensional (1D), bidimensional (2D) e tridimensional (3D).

Passo 2

Em k-espaço, o número de estados entre k e k+dk num sistema de dimensão D e volume real VD (onde V1=L,;V2=A,;V3=V) é dado por
dN = gs,VD,SD,k^D-1(2pi)^D,dk,
onde gs=2 é a degenerescência de spin e SD é a “área da superfície” da esfera unitaria em D dimensões ( S1=2,;S2=2pi,;S3=4pi).

Passo 3

Para passar de dN para g(E)=dNdE, usamos a regra da cadeia:
g(E)=dNdE=dNdkcdotdkdE

Passo 4

Calculando dk/dE: da relação k(E)=raiz2mEhbar segue
dkdE=12,raiz2mhbar,E^-1/2=raiz2m2hbar,raizE

Passo 5

Caso D=1: aqui S1=2 e V1=L. Então
dNdk=2,Lcdot2,k^0(2pi)^1=2L2pi=Lpi,
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g1(E)=dNdk,dkdE=Lpicdotraiz2m2hbarraizE=Lpiraizm2hbar^2E

Passo 6

Caso D=2: aqui S2=2pi e V2=A. Então
dNdk=2,Acdot2pi,k(2pi)^2=2A,k2pi=A,kpi,
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g2(E)=A,kpicdotraiz2m2hbarraizE=Apiraiz2mEhbarcdotraiz2m2hbarraizE=A,mpihbar^2

Passo 7

Caso D=3: aqui S3=4pi e V3=V. Então
dNdk=2,Vcdot4pi,k^2(2pi)^3=8pi V,k^28pi^3=V,k^2pi^2,
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g3(E)=V,k^2pi^2cdotraiz2m2hbarraizE=V2pi^2raiz2mE,raiz2mhbar^3=V2pi^2l(2mhbar^2r)^3/2!raizE

Resposta

g1(E)=Lpiraizm2hbar^2E, g2(E)=A,mpihbar^2, g3(E)=V2pi^2l(2mhbar^2r)^3/2!raizE

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