7 Para o gás de elétrons livres, cuja relação energia-momento pode ser escrita como
determine a densidade de estados nos casos de uma, duas e três dimensões espaciais.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um gás de elétrons livres com relação energia-momento dada por
. Queremos achar a densidade de estados
nos casos unidimensional (1D), bidimensional (2D) e tridimensional (3D).
Passo 2
Em k-espaço, o número de estados entre
e
num sistema de dimensão
e volume real
(onde
) é dado por
onde
Passo 3
Para passar de
para
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Calculando
: da relação
segue
Passo 5
Caso D=1: aqui
e
. Então
logo
Passo 6
Caso D=2: aqui
e
. Então
logo
Passo 7
Caso D=3: aqui
e
. Então
logo