Determine o comutador dos operadores
\mathrm{d} / \mathrm{d} x \mathrm{e} x

Passo 1

O enunciado pede o comutador
\biggl[\frac{d}{dx},\,x\biggr]
entre o operador derivada \frac{d}{dx} e o operador de multiplicação por x. Vamos usar a definição de comutador
[A,B]=A\,B - B\,A
e aplicar ambos os operadores a uma função teste \varphi(x).

Passo 2

Calculemos primeiro
\frac{d}{dx}\bigl(x\,\varphi(x)\bigr).
Pela regra do produto, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,\varphi(x)\bigr) =1\cdot\varphi(x) + x\cdot \varphi'(x) =\varphi(x) + x\,\varphi'(x).

Passo 3

Agora calculemos
x\,\frac{d}{dx}\bigl(\varphi(x)\bigr) = x\,\varphi'(x).

Passo 4

Usando a definição de comutador, temos
\biggl[\frac{d}{dx},\,x\biggr]\varphi(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x\,\varphi(x)\bigr) - x\,\frac{d}{dx}\bigl(\varphi(x)\bigr) =\bigl(\varphi(x)+x\,\varphi'(x)\bigr)-x\,\varphi'(x) =\varphi(x).

Passo 5

Como o resultado é \varphi(x) para qualquer função teste \varphi, concluímos que o comutador é o operador identidade, ou seja, multiplicação por 1.

Resposta

\biggl[\frac{d}{dx},\,x\biggr] = 1.

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