Determine a concentração de uma substancia u(x, t) em um domínio unidimensional de 25 m , fechada de modo que não haja fluxo da substancia pelas extremidades e cuja distribuição inicial da concentração é dada por u(x, 0)=x, \quad 0<x<25.

Passo 1

O problema é a equação de difusão unidimensional
\frac{\partial u}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
em 0<x<25, com condições de contorno sem fluxo
\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0,\quad \frac{\partial u}{\partial x}(25,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=x.
Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em séries de cossenos (autofunções de Neumann).

Passo 2

Procuramos soluções da forma
u(x,t)=A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)e^{-D(n\pi/L)^2 t},
onde L=25. A condição sem fluxo impõe as autofunções \cos(n\pi x/L).

Passo 3

O termo A_0 é a média inicial de u em [0,25]:
A_0 = \frac{1}{25}\int_{0}^{25} x\,dx = \frac{25}{2}=12{,}5.

Passo 4

Os coeficientes A_n vêm da projeção de u(x,0)-A_0 na base \cos(n\pi x/L):
A_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}\bigl(x - 12{,}5\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Calculando esse integral usando que \int_0^L (x- L/2)\cos(n\pi x/L)\,dx =\frac{((-1)^n-1)L^2}{n^2\pi^2}, obtemos
A_n = \frac{2}{25}\,\frac{((-1)^n-1)\,25^2}{n^2\pi^2} =\frac{50}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Como (-1)^n-1=0 para n par e -2 para n ímpar, fica
A_n = \begin{cases} 0,& n\text{ par},\\\\ -\dfrac{100}{n^2\pi^2},& n\text{ ímpar}. \end{cases}í

Passo 5

Substituindo na série geral, renumerando só os termos ímpares através de n=2k+1, temos
u(x,t) =12{,}5 -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{100}{(2k+1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{25}\Bigr) \exp\!\Bigl(-D\tfrac{(2k+1)^2\pi^2}{25^2}\,t\Bigr).

Resposta

u(x,t) =12{,}5 -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{100}{(2k+1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{(2k+1)\pi x}{25}\Bigr) \exp\!\Bigl(-D\,\frac{(2k+1)^2\pi^2}{25^2}\,t\Bigr).

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