Sejam
e
são campos de vetores em
e
é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se
, então definimos
.
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para dois campos vetoriais
e
em
, vale a identidade
Aqui vamos usar as definições em componentes:
– (produto vetorial via símbolo de Levi-Civita).
– .
– .
Também usaremos a regra do produto para derivadas parciais.
–
–
–
Também usaremos a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Escrevemos a divergência do produto vetorial em componentes:
Aplicando a regra do produto na derivada parcial
, temos
Passo 3
Agora identificamos cada termo com produto escalar envolvendo rotacionais.
Para o primeiro termo, note que
Para o primeiro termo, note que
Aqui usamos a propriedade
.
Passo 4
Para o segundo termo, permutamos índices de forma a reconhecer
:
O sinal menos aparece porque
.
Passo 5
Somando os dois resultados, obtemos
que é exatamente a identidade solicitada.