Sejam F e G são campos de vetores em \mathbb{R}^{3} e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se F=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right), então definimos \triangle F=\left(\triangle F_{1}, \triangle F_{2}, \triangle F_{3}\right).
\operatorname{div}(F \times G)=\langle G, \operatorname{rot} F\rangle-\langle F, \operatorname{rot} G\rangle;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para dois campos vetoriais F=(F_{1},F_{2},F_{3}) e G=(G_{1},G_{2},G_{3}) em \mathbb{R}^3, vale a identidade
\operatorname{div}(F\times G) =\langle G,\operatorname{rot}F\rangle -\langle F,\operatorname{rot}G\rangle.
Aqui vamos usar as definições em componentes:
(F\times G)_i=\varepsilon_{ijk}F_jG_k (produto vetorial via símbolo de Levi-Civita).
\operatorname{div}H=\partial_iH_i.
(\operatorname{rot}F)_i=\varepsilon_{i\ell m}\,\partial_\ell F_m.
Também usaremos a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos a divergência do produto vetorial em componentes:
\operatorname{div}(F\times G) =\partial_i\bigl((F\times G)_i\bigr) =\partial_i\bigl(\varepsilon_{ijk}F_jG_k\bigr).
Aplicando a regra do produto na derivada parcial \partial_i(F_jG_k), temos
\partial_i\bigl(\varepsilon_{ijk}F_jG_k\bigr) =\varepsilon_{ijk}\bigl(\partial_iF_j\bigr)\,G_k +\varepsilon_{ijk}F_j\,\bigl(\partial_iG_k\bigr).

Passo 3

Agora identificamos cada termo com produto escalar envolvendo rotacionais.
Para o primeiro termo, note que
\varepsilon_{ijk}\,\partial_iF_j\,G_k =G_k\,\varepsilon_{kij}\,\partial_iF_j =\sum_{k}G_k\,(\operatorname{rot}F)_k =\langle G,\operatorname{rot}F\rangle.
Aqui usamos a propriedade \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij}.

Passo 4

Para o segundo termo, permutamos índices de forma a reconhecer \operatorname{rot}G:
\varepsilon_{ijk}\,F_j\,\partial_iG_k =F_j\,\varepsilon_{jik}\,\partial_iG_k =-\,F_j\,\varepsilon_{ijk}\,\partial_iG_k =-\sum_{j}F_j\,(\operatorname{rot}G)_j =-\langle F,\operatorname{rot}G\rangle.
O sinal menos aparece porque \varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{ijk}.

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
\operatorname{div}(F\times G) =\langle G,\operatorname{rot}F\rangle -\langle F,\operatorname{rot}G\rangle,
que é exatamente a identidade solicitada.

Resposta

\displaystyle \operatorname{div}(F\times G) =\langle G,\operatorname{rot}F\rangle -\langle F,\operatorname{rot}G\rangle.

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