Sejam F e G são campos de vetores em \mathbb{R}^{3} e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se F=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right), então definimos \triangle F=\left(\triangle F_{1}, \triangle F_{2}, \triangle F_{3}\right).
\operatorname{div}(f F)=\langle\operatorname{grad} f, F\rangle+f(\operatorname{div} F);

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo vetorial F=(F_{1},F_{2},F_{3}) em \mathbb{R}^{3} e uma função escalar diferenciável f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}. Queremos mostrar a identidade de “produto” para a divergência:
\operatorname{div}(fF) =\langle\operatorname{grad}f,\,F\rangle +f\,\bigl(\operatorname{div}F\bigr).
Usaremos a definição de divergência em coordenadas e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Pela definição, a divergência de um campo vetorial H=(H_{1},H_{2},H_{3}) é
\operatorname{div}H =\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial H_{i}}{\partial x_{i}}.
No nosso caso H=fF, isto é, H_{i}=f\,F_{i}. Logo
\operatorname{div}(fF) =\sum_{i=1}^{3} \frac{\partial\bigl(f\,F_{i}\bigr)}{\partial x_{i}}\,.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para derivadas parciais, temos
\frac{\partial\bigl(f\,F_{i}\bigr)}{\partial x_{i}} =\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,F_{i} +f\,\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}}.
Portanto, somando em i de 1 a 3,
\operatorname{div}(fF) =\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,F_{i} +\sum_{i=1}^{3}f\,\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}}.

Passo 4

Observe que
\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\,F_{i} =\langle\operatorname{grad}f,\,F\rangle \quad\text{e}\quad \sum_{i=1}^{3}\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}} =\operatorname{div}F.
Como f é escalar, pode sair da soma, ficando
\sum_{i=1}^{3}f\,\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}} =f\,\operatorname{div}F.

Resposta

\operatorname{div}(fF) =\langle\operatorname{grad}f,\,F\rangle +f\,\bigl(\operatorname{div}F\bigr).

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