Sejam
e
são campos de vetores em
e
é uma função diferenciável. Verifique as seguintes identidades. N.B. Se
, então definimos
.
;
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo vetorial
em
e uma função escalar diferenciável
. Queremos mostrar a identidade de “produto” para a divergência:
Usaremos a definição de divergência em coordenadas e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Pela definição, a divergência de um campo vetorial
é
No nosso caso
, isto é,
. Logo
Passo 3
Aplicando a regra do produto para derivadas parciais, temos
Portanto, somando em
de 1 a 3,
Passo 4
Observe que
Como
é escalar, pode sair da soma, ficando