Mostre que a equação 7 x^2+6 y^2+5 z^2-4 x y=4 y z=6 define um elipsóide.
Sugestão: Escreva a equação como a soma de três quadrados.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação com dois sinais “ =” em sequência. Vamos interpretar que o termo correto seja -4 xy -4 yz e que a superfície seja
7x^2 + 6y^2 + 5z^2 - 4xy - 4yz = 6
Este é um caso de forma quadrática em (x,y,z). Para mostrar que é um elipsóide, vamos diagonalizar completando quadrados, obtendo a soma de três quadrados positivos igual a uma constante.

Passo 2

Complete o quadrado em x e y. Considere os termos
7x^2-4xy = 7l(x - tfrac27yr)^2 ;-;7l(tfrac27yr)^2 =7l(x - tfrac27yr)^2 ;-;tfrac47,y^2
Substituindo na equação original obtemos
7l(x - tfrac27yr)^2 ;+;l(6-tfrac47r)y^2 ;+;5z^2 ;-;4yz ;=;6 Longrightarrow 7l(x - tfrac27yr)^2 ;+;tfrac387,y^2 ;+;5z^2 ;-;4yz ;=;6

Passo 3

Agora complete o quadrado em y e z. Olhe para
tfrac387,y^2;-;4yz;+;5z^2
Escreva
tfrac387,y^2-4yz =tfrac387l(y-tfrac1419zr)^2 -tfrac387l(tfrac1419zr)^2 =tfrac387l(y-tfrac1419zr)^2 -tfrac127,z^2
Somando 5z^2
tfrac387l(y-tfrac1419zr)^2 ;+;l(5-tfrac127r)z^2 =tfrac387l(y-tfrac1419zr)^2 ;+;tfrac237,z^2

Passo 4

Substituindo de volta, a forma quadrática fica
7l(x - tfrac27yr)^2 ;+;tfrac387l(y-tfrac1419zr)^2 ;+;tfrac237,z^2 ;=;6
Todos os coeficientes são positivos, ou seja, é a soma de três quadrados positivamente ponderados.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 6 para obter a forma padrão, temos
l(x - tfrac27yr)^2tfrac67 ;+; l(y - tfrac1419zr)^2tfrac2119 ;+; z^2tfrac4223 ;=;1
Cada denominação é positiva, correspondendo aos quadrados dos semi-eixos do elipsóide.

Resposta

A equação pode ser reescrita como
l(x - tfrac27yr)^267 ;+; l(y - tfrac1419zr)^22119 ;+; z^24223 ;=;1,
que é exatamente a equação de um elipsóide.

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