Mostre que a equação
define um elipsóide.
Sugestão: Escreva a equação como a soma de três quadrados.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação com dois sinais “
” em sequência. Vamos interpretar que o termo correto seja
xy
yz e que a superfície seja
Este é um caso de forma quadrática em
. Para mostrar que é um elipsóide, vamos diagonalizar completando quadrados, obtendo a soma de três quadrados positivos igual a uma constante.
Passo 2
Complete o quadrado em
e
. Considere os termos
Substituindo na equação original obtemos
Passo 3
Agora complete o quadrado em
e
. Olhe para
Escreva
Somando
dá
Passo 4
Substituindo de volta, a forma quadrática fica
Todos os coeficientes são positivos, ou seja, é a soma de três quadrados positivamente ponderados.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma padrão, temos
Cada denominação é positiva, correspondendo aos quadrados dos semi-eixos do elipsóide.
Resposta
A equação pode ser reescrita como
que é exatamente a equação de um elipsóide.