Determine a condição que os números reais
e
devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
Passo 1
O enunciado pede a condição que
(a,b,c)inR^3 deve satisfazer para que o sistema
seja compatível. O conteúdo é compatibilidade de sistemas lineares e vamos usar determinante e posto da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
Como
det(A)=0 , a matriz é singular e o sistema terá solução apenas se o posto da matriz aumentada não ultrapassar o posto de
A .
Passo 3
Para achar a condição de compatibilidade, encontramos uma combinação linear não-trivial entre as linhas (ou entre as equações). Observamos que
Isso implica que, ao aplicar a mesma combinação nos termos independentes, devemos ter
Resposta
ou seja, equivalentemente,
c = 5a - 2b .