Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solução.
x+2 y-3 z & =a 2 x+6 y-11 z & =b, x-2 y+7 z & =c

Passo 1

O enunciado pede a condição que (a,b,c)inR^3 deve satisfazer para que o sistema
x + 2y - 3z = a, 2x + 6y - 11z = b, x - 2y + 7z = c
seja compatível. O conteúdo é compatibilidade de sistemas lineares e vamos usar determinante e posto da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = 1 & 2 & -3 2 & 6 & -11 1 & -2 & 7
det(A) =1cdotdet!6 & -11-2 & 7 -2cdotdet!2 & -111 & 7 +(-3)cdotdet!2 & 61 & -2 =20-50+30=0
Como det(A)=0, a matriz é singular e o sistema terá solução apenas se o posto da matriz aumentada não ultrapassar o posto de A.

Passo 3

Para achar a condição de compatibilidade, encontramos uma combinação linear não-trivial entre as linhas (ou entre as equações). Observamos que
-5,(x+2y-3z) +2,(2x+6y-11z) +1,(x-2y+7z) =0cdot x+0cdot y+0cdot z
Isso implica que, ao aplicar a mesma combinação nos termos independentes, devemos ter
-5a + 2b + c = 0

Resposta

-5a + 2b + c = 0,
ou seja, equivalentemente, c = 5a - 2b.

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